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1、第五讲 常用分布一、考试要求 1.掌握二项分布、泊松分布及其均值、方差和标准差以及相关概率的计算。 22.了解超几几何分布。 33.掌握正态态分布的定义义及其均值、方方差和标准差差，标准正态态分布的分位位数。 44.熟悉标准准正态表的用用法二、内容讲解四、常用分布(一)常用离散散分布这里将给出三个个常用的离散散分布：二项分布、泊泊松分布与超超几何分布。1二项分布我们来考察由nn次随机试验验组成的随机机现象，它满满足如下条件件:(1)重复进行行n次随机试试验。比如，把一枚枚硬币连抛nn次，检验nn个产品的质质量，对一个个目标连续射射击n次等。(2) n次试试验间相互独独立，即任何何一次试验结结果
2、不会对其他次试试验结果产生生影响。(3)每次试验验仅有两个可可能的结果，比如，正面与与反面、合格格与不合格、命命中与不命中中、具有某特特性与不具有有某特性，以以下统称为“成成功”与“失失败”。(4)每次试验验成功的概率率均为p，失败的概概率均为1- p。在上述四个条件件下，设X表表示n次独立立重复试验中中成功出现的的次数，显然然X是可以取取0，1，n等n+1个值的离离散随机变量量，且它的概概率函数为:这个分布称为二二项分布，记记为，其中是从nn个不同元素素中取出x个的组合数数，它的计算算公式为：二项分布的均值值、方差与标标准差分别为为： 特例：n=11的二项分布布称为二点分分布。它的概概率函数
3、为： 或列表如下：X 0 1 P 1-p p它的均值、方差差与标准差分分别为 例1.2-110 在个制制造过程中，不不合格品率为为O.1，如今从从成品中随机机取出6个，记记X为6个成品品中的不合格格品数，则XX服从二项分分布，简记为为。现研究如如下几个问题题：(1)恰有1个个不合格品的的概率是多少少?这里规定定抽到不合格格品为“成功功”，则事件件X=1的概率率为： 这表明，6个成成品中恰有一一个不合格品品的概率为00.3543。类类似可计算XX=0，X=1，XX=6的概率率，计算结果果可列出一张张分布列，具具体如下：X 0 11 2 3 4 5 66P0.5314 0.33543 0.0988
4、4 0.0146 0.00012 00.00011 0.00000这里0.00000表示X=6的概率率取前4位小小数的有效数数字为零，实实际上，它的概率率为P(X=6)=00.0000001，并不严严格为零。还可以画出一张张线条图(图图1.27(aa)来表示示这个分布(共有7个取取值)。图上上的横坐标为为X的取值，纵纵轴为其相应应概率。从此此图上可以看看出分布的形形态，哪些上上的概率大，哪哪些上的概率率小。假如改改变成功概率率p，其线条条图亦会改变变。比如，连抛六次硬硬币，其中正正面出现次数数。通过计算算可画出其线线条图(见图图1277(b)，此此图是对称的的，如P(XX=2)=PP(X=4)
5、=00.2343。(2)不超过11个不合格品品的概率为： P(XX1)=PP(X=0)+PP(X=1)=00.5314+0.3543=O.8857 这表明明，6个成品品中不超过11个不合格品品的概率为00.8857。 在实际际中经常需要要求形如“”的的概率，在概概率论中把事事件“”的概概率称为X的分布函数数，也称为累累积分布函数数，记为F(X)，即： 对二项分布的分分布函数已编编制了数表，详详见附表11，此表可可帮助我们计计算二项概率率，例如从附附表1-1中可查得得： P(XX1)=00.8857， P(X4)=00.9999于是可算得： P(110)，又又令X表示某特定定单位内出现现的点数，
6、则则X取值的概率为为： 这个分布就称为为泊松分布，记记为P()，其中e为为自然对数的的底，即2.718288泊松分布的均值值与方差(在在数量上)是是相等的，均均为，即： E(XX)= ，Vaar(X)= ， (1.2-6)例1.2111 某某大公司一个个月内发生的的重大事故数数X是服从泊松松分布的随机机变量，根据据过去事故的的记录，该大大公司在一个个月内平均发发生1.2起重大事事故，这表明明：X服从=1.2的泊松分分布，现考察察如下事件的的概率： (1)在一个月内内发生1起重重大事故的概概率为： 类似地也可计算算X取其他值的的概率，现罗罗列于如下分分布列中：此例中，X理论论上也可以取取8，9，
7、等值。由于于取这些值的的概率的前三三位小数皆为为零，甚至更更小，已无多多大实际意义义，故可不列列出，当作不不可能事件处处理。也可把把此8个概率率画一张线条条图，如图11.28。 (2)在一个月月内发生重大大事故超过22起的概率为为： 这表明，该公司司在一个月内内发生重大事事故超过2起起的概率为OO.121。 (3)泊松分布PP(1.2)的均值值、方差与标标准差分别为为： 3超几何分布布从一个有限总体体中进行不放放回抽样常会会遇到超几何何分布。设有N个产品组组成的总体，其其中含有M个个不合格品。若若从中随机不不放回地抽取取n个产品，则则其中不合格格品的个数XX是一个离散散随机变量，假假如nM，则
8、X可能取0，11，n；若nM，则X可能取0，ll，M，由由古典方法(参见例114)可可以求得的概概率是： 其中r=minn(n,M)，这个分布布称为超几何何分布，记为为h(n，N,MM)。超几何分布h(n，N,MM)的均值与与方差分别为为： 例1.2-112，略，参参见教材366页。(二)正态分布布正态分布是在质质量管理中最最重要也最常常使用的分布布，它能描述述很多质量特特性X随机取值的的统计规律性性。1正态分布的的概率密度函函数正态分布的概率率密度函数有有如下形式： 它的图形是对称称的钟形曲线线，称为正态态曲线。见图图1.210。正态分布含有两两个参数与，常记为。其其中为正态分分布的均值，它
9、它是正态分布布的中心，质质量特性X在附近取值的的机会最大，关于对称。是正态分布的方差，是正态分布的标准差，愈大，分布愈分散；愈小，分布愈集中；p()在处有拐点(2阶导数为零)。同定标准差时，不不同的均值，比如，对应的正态曲线的形状完全相同，仅位置不同，见图1.2-1l(a)。固定均值时，不不同的标准差差，如。，对对应的正态曲曲线的位置相相同，但形状状(高低与胖胖瘦)不同，见见图1.21l(b)。2标准正态分分布且=l的正态分分布称为标准准正态分布，记记为N(0，1)。它是特殊殊的正态分布布，服从标准准正态分布的的随机变量记记为U，它的概率率密度函数记记为，它的图图形见图1.2-12。 实际中很
10、少有有一个质量特特性(随机变变量)的均值值恰好为0，方方差与标准差差恰好为1。但但一些质量特特性的不合格格品率均要通通过标准正态态分布才能算算得。这里将将先介绍标准准正态分布表表及其应用，分分以下几点叙叙述。图1.2-122标准正态分分布的概率密密度函数的图图形 (1)标准正态态分布函数表表，用来计算算形如“”的的随机事件发发生的概率，即即标准正态分分布函数。根根据u的值可在标标准正态分布布函数表(附附表12)上查得，例例如事件“UU1.52“的概率可从从附表122上查得 P(U1.52)=(11.52)=0.9357它表示标准正态态随机变量UU取值不超过过1.52的概率率，在数量上上它恰好为
11、11.52左侧的的一块阴影面面积(见图11.2-13)。由于直线是没有有面积的，即直直线的面积为为零，故： P(UU1.52)=PP(U1.52)=(11.52)=0.9357 综合上述，可可得如下计算算公式： P(UUa)=P(UUa)=l-(a)，(见图11.214)。 (3) (-a)=l- (a)(见图1.2-15)。 (4)P(aaUb)= (b)-(a)(见图1.216)。(5) (见图图12117)。 3标准正态分分布N(O，1)的分位数分位数是一个基基本概念，这这里结合标准准正态分布NN(0，1)来叙述分位位数概念。对对概率等式 P(U11.282)=0.9，有两种种不同说法：
12、(1) 0.99是随机变量量U不超过11.282的概概率。(2) 1.2282是标准准正态分布NN(0，1)的0.9分位数，也也称为9%分位数或990百分位数数，记为。后一种说法有新新意，O.9分位数。，把把标准正态分分布密度函数数下的面积分分为左右两块块，左侧一块块面积恰好为为O.9，右侧一一块面积恰好好为O.1，见图11.2-18。一般说来，对介介于0与1之之间的任意实实数，标准正正态分布N(O，1)的分位数是是这样一个数数，它的左侧侧面积恰好为为，它的右侧侧面积恰好为为l (详详见图1.2-19)。用用概率的语言言表示，U(或它的分分布)的分位位数是满足下下面等式的实实数： P(UU)=
13、分位数亦可用标标准正态分布布表从里向外外查得，尾数数可用内插法法得到，比如0.95的分位位数可先查得得： 由于概率0.995恰好介于于0.9495与与0.9505中中问，故。0.5分位数，即即50分位位数，也称为为中位数，在在标准正态分分布N(O，1)场合，。当O5时，比如=0.25，由对称性可知，对它加上负号即得，类似地有 (见图1.220)。 标准正态分布的的分位数亦可从从附表133直接查得。4有关正态分分布的计算现在转入正态分分布的计算。正正态分布计算算基于下面的的重要性质。性质1： 设设XN()，则。此性质表明，任任一个正态随随机变量X(服从正态态分布的随机机变量)经过过标准化变换换(X-)
