《等积法求体积点到面的距离》由会员分享，可在线阅读，更多相关《等积法求体积点到面的距离（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、资料范本本资料为word版本，可以直接编辑和打印，感谢您的下载等积法求体积点到面的距离【教师版】地点：时间：说明：本资料适用于约定双方经过谈判，协商而共同承认，共同遵守的责任与 义务，仅供参考，文档可直接下载或修改，不需要的部分可直接删除，使用时 请详细阅读内容等积法求三棱锥的体积【教师版】2014/10/14由于三棱锥是由4个三角形围成的四面体，任何一个三角形都可以看成其 底面。但在求体积时需要选择合适的底和高，这就需要灵活换底面，但是三棱 锥的体积保持不变。这种方法我们称为“等积法”，它是三棱锥求体积的巧妙 方法，也是其“专属产品”。其他的，如四棱锥求体积就不能随意换底，不能 用等积法求体
2、积。另外，等积法的优越性还体现在求“点到平面的距离”中。【注意】等积法求体积时，要谨记“先证后求”的原则，先作出或证明底 面的高，再计算三棱锥的体积。例1例2.(2011佛山一中三校联考)如图，已知三棱锥ABPC中，APLPC，ACXBC，M为AB中点，D为PB中点，且 PMB为正三角形。(I) 求证：DM平面APC；(II) 求证：平面ABC平面APC；(III) 若BC = 4，AB = 20，求三棱锥DBCM的体积.例2.解：(I)由已知得，是ABP的中位线2分4分(II) 为正三角形，D为PB的中点，5分6分又7分又9分平面ABC平面APC10分(III) ：，是三棱锥MDBC的高，且
3、MD=11分又在直角三角形PCB中，由PB=10, BC = 4，可得PC= 12分于是=,13分=14 分例3.(茂名2010二模)如图，在底 面是菱形的四棱锥SABCD中， SA=AB=2,(1) 证明：平面SAC；(2) 问：侧棱SD上是否存在点E，使得SB/平面ACE?请证明你的结 论；(3) 若，求几何体ASBD的体积。例3.解：(1)四棱锥SABCD底面是菱形，且 AD=AB，又 SA=AB=2，又， 2分平面ABCD，平面ABCD，从而SABD 3分又，平面SAC。 4分(2) 在侧棱SD上存在点E，使得SB/平面ACE，其中E为SD的中点 6 分证明如下：设，则O为BD的中点，
4、又E为SD的中点，连接OE，则为的中位线。7分，又平面AEC，、8平面AEC8分平面ACE 10分(3)当时，12分几何体ASBD的体积为14分点到面的距离一、知识点（求点到面的距离主要方法：）（1）直接法：由定义作出垂线段并计算，用线面和面面垂直的判定及性质 来作；（2）转移法：若直线平面，则直线上任意一点到平面的距离相等；（3）等体积法：用同一个三棱锥选不同底计算体积，再求高，即点到面的 距离。二、基础热身1、在棱长为的正方体中找出表示下列距离的垂线段：直接法：（1）点到面的距离；（2）到面的距离；（3）点到面的距离（4）求（3到平面的距离。转移法：棱长为1的正方体中，分别是棱中点，求点到
5、平面的距离提示：因为，所以点到平面的距离即为点到平面的距离。作，证明。【活学活用】3、在棱长为1的正方体中,E,F分别为棱和CD的中点，求点F到平面的距 离。提示：法一直接法：将三角形扩大到平行四边形，高。取的中点G，连接、EG，过F作垂线FHO可以证得EG/，所以平面，即平面。可以证得EG平面，所以EGXFH由 FH.EGFH, EG n = G 可知 FH平面所以FH即F到平面距离。根据勾股定理可以求得：，又知：的面积二S四边形-、 - S- SAFGC，。法二：转移法：平面，作。等积法求点到面的距离：4.已知在棱长为1的正方体中，E、F分别是、CD的中点，求点B到平面 的距离。等积法三、
6、知识运用例1：如图四棱锥，面，是线段上一点，.(1) 证明：(2) 求点的距离。ABCDPEFEX1如图，在边长为a的菱形ABCD中，E,F是PA和AB的中点。(1)求证：EF/平面PBC ;(2)求到平面PBC的距离。提示：由（1）知EF/平面PBC,所以E到平面PBC的距离等于点F到平面PBC的距离，即为所求。例2：（2010江苏卷）如图，在四棱锥P-ABCD中，PDL平面ABCD, PD=DC=BC=1, AB=2,AB#DC,ZBCD=900O 求点 A 到平面 PBC 的距离。解析（方法一）分别取AB、PC的中点E、F,连DE、DF，则：易证DECB,DE平面PBC,点D、E到平面P
7、BC的距离相等。又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍。由（1）知：BC1平面PCD,所以平面PBC1平面？CD于PC,因为PD=DC, PF=FC,所以DFPC，所以DF1平面PBC于F。易知DF=,故点入到平面PBC的距离等于。（方法二）等体积法：连结AC。设点入到平面PBC的距离为h。因为 ABDC,NBCD=900,所以ZABC=900O从而AB=2, BC=1,得的面积。由PD平面ABCD及PD=1，得三棱锥P-ABC的体积。因为PD1平面ABCD, DC平面 ABCD，所以PD1DC。又PD=DC=1,所以。由PCBC, BC=1,得的面积。由，得，故点A到平面PB
8、C的距离等于。EX2: （2010广东文数）如图4, 弧 AEC是半径为的半圆，AC为直径，点E 为弧AC的中点，点B和点C为线段AD的三等分点，平面AEC外一点F满足FC 平面 BED,FB=（1）证明：EBFD（2）求点B到平面FED的距离.【解析】（1）证明：.点B和点C为线段AD的三等分点，.点B为圆的圆心又.E是弧AC的中点，AC为直径，.即平面，平面，.又平面，平面且.平面又平面，.（2）解：设点B到平面的距离（即三棱锥的高）为.平面，.FC是三棱锥F-BDE的高，且三角形FBC为直角三角形由已知可得，又.在中，故，. ,又平面，故三角形EFB和三角形BDE为直角三角形，在中，,
9、,即，故,即点B到平面的距离为.备用题：四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，PD底面ABCD，PD=DC=BC=1， AB=2，AB|CD, ABC=90。，求点 D 到平面 PAB 的距离.2、四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA底面ABCD，AB=，分别求点 C与点D到平面PAB的距离.3、如图几何体是由正方体ABCD-A1B1C1D1与四棱锥E-A1B1C1D1组成，E 为CC1的延长线上一点，且EC1二CC1，AB=2, M为EB1的中点，求点M到平面 ACD1的距离.4、如图BCD与MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD平面 BCD，AB平面 BCD，求点A到平面MCD的距离.PCABOD图5图65、圆锥如图5所示，图6是它的正(主)视图.已知圆的直径为，是的中 点，为的中点.(1)求该圆锥的侧面积；(2)证明：；(3) 求点到平面的距离.6、如图，ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AD、AB的中点，GC垂 直于ABCD所在的平面，且GC = 2，求点B到平面EFG的距离。7:如图，已知是矩形，.求到平面的距离.8、圆锥如图5所示，图6是它的正(主)视图.已知圆的直径为，是的中 点，为的中点.(1) 求该圆锥的侧面积；(2) 证明：；(3) 求点到平面的距离.PCABO
