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1、立体几何复习专题-空间角之线线角一、基础知识1. 定义：直线a、b是异面直线，经过空间一交o,分别a7/a, b7/b，相交直线ab所成的锐角（或直角）叫做。八乙兀一2. 范围：0 0,3V 2 -3. 方法：平移法、（1）平移法：在图中选一个恰当的点（通常是线段端点或中点）作a、b的平行线，构造一个三角形，并解三角形求角。步骤根据定义，通过平移，找到异面直线所成的角。；b解含有。的三角形，求出角。的大小.（常用到余弦定理）余弦定理:a 2 + b 2 c 2cos 0 =-（计算结果可能是其补角）2ab（2）补形法：把空间图形补成正方体、平行六面体、长方体等几何体，以便发现异面直线 间的关系
2、（3）三线角公式 用于求线面角和线线角.斜线和平面内的直线与斜线的射影所成角的余 弦之积等于斜线和平面内的直线所成角的余弦 即：cos 01 cos 0 2 = cos 0若OA为平面的一条斜线，O为斜足，OB为OA在面a内的射影，OC为面a内的一条直线，01OA与OB所成的角，即线面角，。2为OB与OC所成的角，那么cos0=cos。cos02 （同学们可自己证明），它揭示了斜线和平面所成的角是这条斜例1： （1）在正方体ABCD - ABCD中，下列几种说法正确的是（）其中。为OA与OC所成的角，A、AC 1 AD B、DC 1 AB C、AC 与DC 成45 角 D、AC 与BC 成60
3、 角1 11 111 11答案：D。解析：A1C1与AD成45，D1C1与AB平行，AC1与DC所成角的正切为？-。例2: （1）如图，在正方体ABCD ABCD中，E,FG,H分别为AA，AB，BB，BC的1111111 1中点，则异面直线EF与GH所成的角等于（）（2）如图，正四棱柱ABCD AgCg中,AA = 2AB，则异面直线RB与A所成角的余 弦值为（3）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，匕BCA=90，点D、F1分别是A1B1和A的中 点，若BC=CA=Cq，求BD1与AF1所成的角的余弦彳 。(4)在正四面体A-BCD中，异面直线AB与CD所成角的大小是.A小结：异面直线
4、所成的角求法：平移法例:3、在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，已知 AB= a，BC= b(a b) ,AA1=c，求异面直线 D和AC所成的角的余弦值。方法一：过B点作AC的平行线(补形平移法)方法二：过AC的中点作BD1平行线三垂线例3、已知四棱锥P- ABCD的底面为直角梯形，一1 V -ABCD，且PA = AD = DC = 一，AB = 1, M 是PB 的中点2(I) 证明：面PAD 面PCD ；(II) 求AC与PB所成的角；证明：以A为坐标原点AD长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为A(0,0,0),如20), CdJEdWSW料(I)证明：因 AP =
5、 (0,0,1), DC = (0,1,0),故AP - DC = 0,所 以AP DC.由题设知AD DC，且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线 由此得DC 面PAD 又DC在面PCD上(II)解：因 AC = (1,1,0), PB = (0,2,-1),故I AC 1= v2l PB 1= v5, AC - PB = 2,所以一 AC - PB10cos = :I AC I -1 PB I，故面PAD上面PCD例4、如图，在四棱锥P- ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA 1底面ABCD， AB = -3，BC = 1， PA = 2， E为PD的中点 求直线AC与PB所成角的余
6、弦值;解：(I)建立如图所示的空间直角坐标系，则 A, B, C, D, P, E 的坐标为 A(0,0,0)、B(*,0,0)、C(*,1,0)、D(0,1,0)、1P(0,0,2)、E(0顷1)，ABAAC - PBcos0 =:=/ ，I AC I -1 PB I 2、.714AC与PB所成角的余弦值为C1CM、N分别是CD的重心，M是AC从而 AC = G/3,1,0), PB = G/3,0,-2).设AC与PB的夹角为0,则3训练题作直线L,使L与a ,b所成的角均为1 .异面直线a , b所成的角为60。，过空间一定点P60。，这样的直线L有 条。答案：三条。解析：如换成50,
7、70呢。2.已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两垂直，D是底面三角形内一点，且 ZDPA=450,ZDPB=600,则匕 DPC=。答案：600。解析：以PD为对角线构造长方体*正方体的12g条棱和12条面对角线中，互相异面的两条线成的角大小构成的集合是 90o ,45。,60。4. 正方体AC 中，O是底面ABCD的中心，则OA和BD1所成角的大小为。5. 已知Z为异面直线a与b的公垂线，点p e a，若a、b间距离为2,点P至的距离为2,P到b的距离为*5，则异面直线a与b所成的角为6如图正三棱柱ABC-ABC1中AB= t2 AA,AB, AC的中点，则AM与CN所成角为7
8、. 如图PD1平面ABCD,四边形ABCD为矩形AB=2AD=2DP, E 为 CD 中点。(1) AP与BE所成的角为(2) 若F e直线PD,且AF与BE所成角为。1. 0 =30行吗？八DF2. 0 =75 时；DP8. 空间四边形ABCD中，对角线AC, BD与各边长均为1, O 的中点，E是AO的中点，求异面直线OM与BE所成的角9.空间四边形 ABCD 中 AB=BC=CD, /BCD= / ABC=120。，AB 1 CD, M、N 分别是中点(1) AC和BD所成的角为。(2) MN与BC所成的角为。10.已知正方体AC1中，(1) E、F分别是AD, AC的中点， 则AE与C
9、F所成的角为1MAB(2) M、N分别是AA1，BB1的中点，贝CM和D1N所成的角是。11、如图，三棱锥 PABC 中，PC 1 平面 ABC, PC=AC=2, AB=BC, D 是 PB 上一点， 且CD 1平面PAB. (I)求证：AB1平面PCB； (II)求异面直线AP与BC所成角的大小;解法一：（I） VPC1 平面 ABC, AB u 平面 ABC,. PC 1 AB . CD 1 平面 PAB, AB u 平面 PAB,.LCD 1 AB.又PC CD = C ,A AB 1 平面 PCB.（II）过点 A 作 AF/BC,且 AF=BC,连结 PF, CF.则ZPAF为异面
10、直线PA与BC所成的角.由（I）可得ABBC,ACF 1AF.由三垂线定理，得PF1AF.则 AF=CF=、2 , PF=PC2 + CF 2 = M ,F在 RtAPFA 中，tan/PAF = AF 2丸A异面直线PA与BC所成的角为3 .解法二：（II）由（I） AB1 平面 PCB,VPC=AC=2，又 VAB=BC,可求得 BC= 2 .以 B 为 原点，如图建立坐标系.则A（0, 2 , O）,B（0, 0, 0）,C （巨,O, 0）, P （应,O, 2）. AP =（应,一巨2）, BC = G2,0,0）. I.cos = AP BCaP| |bC|则 AP - BC =、2 x,；2 +0+0=2.兀A异面直线AP与BC所成的角为3.
