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1、2018届江苏省常州高三上学期期末数学（理）试题一、填空题1若集合， ，则集合_.【答案】【解析】由题意，得， ，则.2命题“， ”是_命题（选填“真”或“假”）.【答案】真【解析】当时， 成立，即命题“， ”为真命题.3若复数满足（其中为虚数单位），则_.【答案】【解析】设，则由，得，则，解得，即，即.4若一组样本数据， ， ， ， 的平均数为，则该组样本数据的方差为【答案】【解析】因为该组样本数据的平均数为2017，所以，解得，则该组样本数据的方差为 .5如图是一个算法的流程图，则输出的的值是_.【答案】【解析】由程序框图，得运行过程如下： ；，结束循环，即输出的的值是7.6函数的定义域记
2、作集合，随机地投掷一枚质地均匀的正方体骰子（骰子的每个面上分别标有点数， ， ， ），记骰子向上的点数为，则事件“”的概率为_.【答案】【解析】要使函数有意义，则且，即且，即，随机地投掷一枚质地均匀的正方体骰子，记骰子向上的点数为，则，则事件“”的概率为.7已知圆锥的高为，体积为，用平行于圆锥底面的平面截圆锥，得到的圆台体积是，则该圆台的高为_.【答案】【解析】设该圆台的高为，由题意，得用平行于圆锥底面的平面截圆锥，得到的小圆锥体积是，则，解得，即该圆台的高为3.点睛：本题考查圆锥的结构特征；在处理圆锥的结构特征时可记住常见结论，如本题中用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面与底面的面积之比是两个
3、圆锥高的比值的平方，所得两个圆锥的体积之比是两个圆锥高的比值的立方8各项均为正数的等比数列中，若，则的最小值为_.【答案】【解析】因为是各项均为正数的等比数列，且，所以，则，即，即，即的最小值为.点睛：本题考查等比中项和基本不等式的应用；在处理等比数列中，往往考查等比数列的性质的应用，如：在等比数列中，若，则.9在平面直角坐标系中，设直线： 与双曲线： 的两条渐近线都相交且交点都在轴左侧，则双曲线的离心率的取值范围是_.【答案】【解析】易知双曲线： 的两条渐近线方程为，联立，得，联立，得，由题意，得，即，则，即，即双曲线的离心率的取值范围是.10已知实数， 满足则的取值范围是_.【答案】【解析
4、】令，将化为，作出可行域和目标函数基准直线（如图所示），当直线向右上方平移时，直线在轴上的截距增大，由图象，得当直线过点时， 取得最小值，当直线过点时， 取得最大值8，即的取值范围为.11已知函数，其中，若过原点且斜率为的直线与曲线相切，则的值为_.【答案】【解析】因为，所以，设过原点且斜率为的直线与曲线相切于点，则切线方程为，因为该切线过原点，所以，解得，即，即.点睛：本题考查导数的几何意义；在利用导数的几何意义求曲线的切线时，要注意“曲线在某点处的切线”和“过某点的切线”的区别，“在某点处的切线”，即该点就是切点，且在曲线上，但“过某点的切线”，则该点不一定在曲线上，且也不一定是切点. 1
5、2如图，在平面直角坐标系中，函数 的图像与轴的交点， ， 满足，则_.【答案】【解析】不妨设， ， ，得，由，得，解得.13在中， ， ， ， 为内一点（含边界），若满足，则的取值范围为_【答案】【解析】由余弦定理，得，因为为内一点（含边界），且满足，所以，则.14已知中， ， 所在平面内存在点使得，则面积的最大值为_【答案】【解析】设，以所在直线为轴、其中垂线所在直线为轴建立直角坐标系（如图所示），则，设，由，得，即，则，则，即，解得，即，即面积的最大值为.二、解答题15已知中， ， ， 分别为三个内角， ， 的对边， ，（1）求角；（2）若，求的值.【答案】(1) ；(2) .【解析】试题
6、分析：（1）先由正弦定理将边角关系转化为角角关系，再利用配角公式进行化简求解；（2）由正弦定理将边边关系转化为角角关系，再利用同角三角函数基本关系式、两角和的正弦公式进行求解.试题解析：（1）由正弦定理和，得， 中， ，所以，所以， ，所以；（2）因为，由正弦定理得， 所以 .16如图，四棱锥的底面是平行四边形， 平面， ，点是棱上异于、的一点.（1）求证： ；（2）过点和平面截四棱锥得到截面（点在棱上），求证： .【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】试题分析：（1）先利用面面垂直的性质和等腰三角形的“三线合一”得到线线垂直，再利用线面垂直的判定定理证明线面垂直，进而得到线线垂
7、直；（2）先利用线面平行的判定定理证明线面平行，再利用线面平行的性质定理进行证明.试题解析：（1）证明： 平面， 平面，所以，记， 交于点，平行四边形对角线互相平分，则为的中点，又中， ，所以，又， ， 平面，所以平面，又平面所以；（2）四边形是平行四边形，所以，又平面， 平面，所以平面，又 平面，平面 平面，所以，又，所以.17已知小明（如图中所示）身高米，路灯高米， ， 均垂直于水平地面，分别与地面交于点， .点光源从发出，小明在地上的影子记作.（1）小明沿着圆心为，半径为米的圆周在地面上走一圈，求扫过的图形面积；（2）若米，小明从出发，以米/秒的速度沿线段走到， ，且米. 秒时，小明在地
8、面上的影子长度记为（单位:米），求的表达式与最小值.【答案】(1) 平方米；(2) ， ，当（秒）时， 的最小值为（米）.【解析】试题分析：（1）先由线线平行得到比例线段，再利用圆的面积公式进行求解；（2）先利用余弦定理得到函数表达式，再利用二次函数的最值问题进行求解.试题解析：（1）由题意，则， ，所以，小明在地面上的身影扫过的图形是圆环，其面积为（平方米）；（2）经过秒，小明走到了处，身影为，由(1)知，所以 .化简得， ， ，当时， 的最小值为.答： ， ，当（秒）时， 的最小值为（米）.18如图，在平面直角坐标系中，椭圆： 的右焦点为，点是椭圆的左顶点，过原点的直线与椭圆交于， 两点（
9、在第三象限），与椭圆的右准线交于点.已知，且.（1）求椭圆的离心率；（2）若，求椭圆的标准方程.【答案】(1) ；(2) .【解析】试题分析：（1）联立方程，得到交点坐标，再利用平面向量的数量积求出椭圆的离心率；（2）先利用（1）结果写出的坐标和右准线方程，写出直线的方程，得到相关点的坐标，利用三角形的面积公式进行求解.试题解析：（1）由题意，消去得，解得， 所以 ， ， ，所以；（2）由（1），右准线方程为，直线的方程为，所以， ，所以， ，所以， 椭圆的标准方程为.19已知各项均为正数的无穷数列的前项和为，且满足（其中为常数）， .数列满足.（1）证明数列是等差数列，并求出的通项公式；（2
10、）若无穷等比数列满足：对任意的，数列中总存在两个不同的项， 使得，求的公比.【答案】(1) ；(2) .【解析】试题分析：（1）仿写式子，两式相减得到，利用等差数列的定义和通项公式进行求解；（2）构造数列，利用递减数列得到取值范围，利用数列是特殊的函数，利用导数研究其单调性，利用确定公比的取值.试题解析：（1）方法一：因为，所以，由-得， ，即 ，又，则，即.在中令得， ，即.综上，对任意，都有，故数列是以为公差的等差数列.又，则.方法二：因为，所以，又，则数列是以为首项， 为公差的等差数列，因此，即.当时， ，又也符合上式，故.故对任意，都有，即数列是以为公差的等差数列.（2）令，则数列是递
11、减数列，所以.考察函数，因为，所以在上递增，因此，从而 .因为对任意，总存在数列中的两个不同项， ，使得，所以对任意的都有，明显.若，当时，有，不符合题意，舍去；若，当时，有 ，不符合题意，舍去；故.20已知函数，其中为常数.（1）若，求函数的极值；（2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；（3）若，设函数在上的极值点为，求证： .【答案】(1)当时， 的极大值为，无极小值；(2) ；(3)证明见解析.【解析】试题分析：（1）求导，利用导函数的符号变化得到函数的单调性，进而得到函数的极值；（2）求导，将函数在某区间上单调递增转化为导函数非负恒成立，分离参数，构造函数，将不等式恒成立问题转化为
12、求函数的最值问题；（3）连续两次求导，分别通过研究导函数的符号变化研究函数的极值，再作差构造函数，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，再利用求导进行求解.试题解析：（1）当时， ，定义域为，令，得.极大值当时， 的极大值为，无极小值.（2），由题意对恒成立. ， ， 对恒成立， 对恒成立.令， ，则，若，即，则对恒成立， 在上单调递减，则， ， 与矛盾，舍去；若，即，令，得，当时， ， 单调递减，当时， ， 单调递增，当时， ，.综上.（3）当时， ， ，令， ，则 ，令，得，当时， ， 单调递减， ，恒成立， 单调递减，且.当时， ， 单调递增， 又 ，存在唯一，使得， ，当时， ，
13、单调递增，当时， ， 单调递减，且，由和可知， 在单调递增，在上单调递减，当时， 取极大值.， ， ，又， ， .21在中，N是边AC上一点，且，AB与的外接圆相切，求的值【答案】.【解析】试题分析：记外接圆为，利用圆的切割线定理和相似三角形进行求解.试题解析：记外接圆为，、分别是圆的切线和割线，所以，又，所以与相似，所以，所以，.22已知矩阵不存在逆矩阵，求：（1）实数的值；（2）矩阵的特征向量.【答案】(1) ；(2)答案见解析.【解析】试题分析：（1）根据题意，将问题转化为行列式为0进行求解；（2）利用特征向量的定义进行求解.试题解析：（1）由题意，即，解得；（2），即，所以，解得， 时
14、， ， ，属于的一个特征向量为；时， ， ，属于的一个特征向量为.23在平面直角坐标系中，以原点为极点， 轴正半轴为极轴，建立极坐标系.曲线的参数方程为（为参数），直线的极坐标方程为，直线与曲线交于， 两点，求的长.【答案】.【解析】试题分析：先消参得到曲线的直角坐标方程，利用极坐标和直角坐标方程的互化公式得到直线的直角坐标方程，再利用弦长公式进行求解.试题解析：曲线： ，直线： ，圆心到直线的距离为，所以弦长 .24已知， ，求证: .【答案】证明见解析.【解析】试题分析：利用排序不等式进行证明.试题解析：证明： ， ，不妨设，则， ，由排序不等式得，所以.25已知正四棱锥的侧棱和底面边长相等，在这个正四棱锥的条棱中任取两条，按下列方式定义随机变量的值：若这两条棱所在的直线相交，则的值是这两条棱所在直线的夹角大小（弧度制）；若这两条棱所在的直线平行，则；若这两条棱所在的直线异面，则的值是这两条棱所在直线所成角的大小(弧度制).（1）求的值；（2）求随机变量的分布列及数学期望.【答案】(1) ；(2)答案见解析.【解析】试题分析：先利用题意得到几何体的结构特征，写出变量的所有可能求值，写出基本事件数；（1）利用古
