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1、微积分 经过近一个世纪的尝试与酝酿，数学家们在严格化基础上重建微积分的努力到19世纪初开始获得成效。这方面的先声来自捷克学者波尔察诺（B。Bolzano，17811848），他在1817年发表了纯粹分析证明，以证明连续函数的中值定理为目的，其中包含了对函数连续性、导数等概念的合适定义，但波尔察诺的工作长期湮没无闻。19世纪分析严格化真正有影响的先驱是法国数学家柯西（A-L.Cauchy,17891851）。柯西长期担任巴黎综合工科学校教授，他有许多著作都是以工科大学讲义形式面世的。在分析方法方面，他写出了一系列著作，其中最有代表性的是分析教程和无限小计算教程概论，它们以严格化为目标，对微积分的
2、基本概念，如变量、函数、极限、连续性、导数、微分、收敛等等给出了明确的定义，并在此基础上重建和拓展了微积分的重要事实与定理。以下是这方面的一些例子：1。变量。“依次取许多互不相同的值的量叫做变量”。2。函数。“当变量之间这样联系起来的时候，即给定了这些变量中的一个值，就可以决定所有其他变量的值的时候，人们通常想象这些量是用其中的一个来表达的，这时这个量就取名为自变量，而由这些自变量表示的其他量就叫做这个自变量的函数”。按照这个定义，不仅无穷级数可以规定一个函数，而且也突破了函数必须有解析表达式的要求。3。极限。“当同一变量逐次所取的值无限趋向于一个固定的值，最终使它的值与该定值的差要多小就多小
3、，那么最后这个定值就称为所有其他值的极限”。4。无限小量。“当同一变量逐次所取的绝对值无限减小，以至比任意给定的数还要小，这个变量就是所谓的无限小或无限小量”。柯西的无限小不再是一个无限小的固定数。5。连续函数。柯西第一次解决了函数连续性的定义问题。按他的定义，函数在给定限之间关于保持连续，如果在这两限之间变量的每个无限小增量总产生函数本身的一个无限小增量。以往欧拉所说的“连续”是指光滑（即可微）函数，而在18世纪后期关于弦振动所引起的争论中，数学家们则把“连续性”理解为函数具有一致的解析表达式。6。导数与微分。柯西把导数明确定义为差商当无限地趋向于零的极限，函数的微分则定义为。以往常常是先取
4、某种形式的微分作为基本概念，而把的导数作为表达式的“微分系数”而引入。 7。积分。柯西首先指出，在研究积分或原函数的各种性质以前，应先证明它们是存在的。也就是说需要首先对一大类函数给出积分的一般定义。设函数在给定区间上连续，并用点把区间划分为个子区间，对应于每个这样的划分，构造近似和：柯西证明这个和数当区间长趋向于零时的极限与划分的方式无关，并把这个极限定义为在区间上的积分。这个定义后来被黎曼直接推广，将每个区间端点用区间内任一点来代替，就得到现在所说的黎曼积分。在以上一系列定义的基础上，柯西得以严格地表述并证明微积分基本定理，中值定理等一系列重要定理，如微积分基本定理被表述为：在区间上给定连
5、续函数，对于，由定义的新函数就是的原函数或反导数，即在上有柯西还对无穷级数进行了严格化处理，明确定义了级数的收敛性，并研究了判别级数收敛的条件。令是所研究的无穷级数前项的和，为自然数，若当趋向于无限大时，和无限趋近于某一极限，柯西就说级数是收敛的。柯西的工作向分析的全面严格化迈出了关键的一步。我们看到，他的许多定义和论述已经相当接近于微积分的现代形式，像上面所举的微积分基本定理，几乎与今天的微积分教科书完全一样（区别仅在于现代教科书中为了区别积分号下的哑变量与上限变量，往往将换做）。柯西的研究结果一开始就引起了科学界很大的轰动。据说柯西在巴黎科学院宣读第一篇关于级数收敛性的论文时，使年高望重的拉普拉斯大感困惑，会后急忙赶回家去检查他那五大卷天体力学里的级数，结果发现他所用到的级数幸好都是收敛的。而同一个拉普拉斯，当有一次拿破仑问他为什么五大卷天体力学中没有一处提到上帝时，曾傲然答道：“陛下，我不需要这样的假设！”。
