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1、平面向量的概念及线性运算基础知识自主学习要点按理1.向量的有关概念名称定义备注向量既有又有的量：向量的大小叫做向量的（或称）平面向量是自由向量零向量长度为的向量；其方向是任意的记作单位向量长度等于的向量非零向量a的单位向量为ai|a|平行向量方向或的非零向量0与任一向量或共线共线向量的非零向量又叫做共线向量相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度且方向的向量0的相反向量为02向量的线性运算向量运算定义法则（或几何意义）运算律加法求两个向量和的运算a床!W（1）交换律：a+ b=cl(2 )结合律：(a + b) + c =减法求a与b的相反向量b的和的运算叫 做a
2、与b的差a法则a b= a + (b)数乘求实数入与向量a 的积的运算(1) 1 扫1=；(2) 当?0时，扫的方向与a的方向；当X0时，?a的方向与a的方向;当X= 0时，怯X 闵）=;（入 +（j）a=；X a + b）=3共线向量定理a是一个非零向量，若存在一个实数入使得b=怡，则向量b与非零向量a共线.难点正本疑点清源1. 向量的两要素向量具有大小和方向两个要素用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关 系.同向且等长的有向线段都表示同一向量.或者说长度相等、方向相同的向量是相等 的向量只有相等或不等，而没有谁大谁小之说，即向量不能比较大小.2. 向量平行与直线平行的区别向量平行
3、包括向量共线和重合的情况，而直线平行不包括共线的情况因而要利用向量 平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合.基础自测1. (课本改编题)化简OP QP + MS MQ的结果为2. 在平行四边形 ABCD中，E为DC边的中点，且AB = a, AD = b,则BE =3下列命题：平行向量一定相等；不相等的向量一定不平行；平行于同一个向量的两个向量是共线向量；相等向量一定共线其中不正确命题的序号是4.已知D为三角形ABC边BC的中点，点P满足PA + BP + CP = 0, AP = ?PD，则实数 入的值为.5. 已知0是厶ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且2OA + OB
4、+ OC = 0,那么()B.AO = 20DA.AO = ODC.AO = 3ODD. 2AO = OD题型分类深度剖析题型一 平面向量的概念辨析【例1】给出下列命题：若|a|=|b|,贝U a= b;若A, B, C, D是不共线的四点，贝U AB = DC是四边形 ABCD 为平行四边形的充要条件； 若a= b, b= c,则a= c;a = b的充要条件是|a|= |b|且a / b. 其中正确命题的序号是 .探究提高(1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键.(2) 相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.(3) 共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.向量可以平移，平
5、移后的向量与原向量是相等向量解题时，不要把它与函数图像移 动混为一谈.非零向量a与-的关系是：旦是a方向上的单位向量.|a|a|变止川第i判断下列命题是否正确，不正确的请说明理由.(1)若向量a与b同向，且|a|b|，贝U ab;若a|= |b|,贝U a与b的长度相等且方向相同或相反；若|a|= |b|,且a与b方向相同，则a = b;(4) 由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行；若向量a与向量b平行，则向量a与b的方向相同或相反；若向量ZB与向量dD是共线向量，则 A, B, C, D四点在一条直线上;起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；(8)任一向量与它的相反向
6、量不相等.题型二 向量的线性运算【例2 如图，在 ABC中，D、E分别为BC、AC边上的中点，G 为 BE 上一点，且 GB= 2GE，设/B = a, /C = b,试用 a, b表示AD ,恋.探究提高(1)解题的关键在于搞清构成三角形的三个问题间的相互关系，能熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化.(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：观察各向量的位置；寻找相应的三角形或多边形；运用法则找关系；化简结果.者式订济？ 如图，在 ABC中，E、F分别为AC、AB的中占I 八、：BE与CF相交于G点，设AB = a,AC = b,试用a,b表示AG.探究提高
7、(1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键.探究提高(1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键.题型三平面向量的共线问题 【例3】设两个非零向量a与b不共线,(1)若 AB = a+ b, BC = 2a+ 8b, CD = 3(a-b),求证：A、B、D 三点共线；试确定实数k,使ka + b和a + kb共线.探究提高证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.向量a、b共线是指存在不全为零的实数入，4使入a + W= 0成立，若 2+血=0,当且仅当入= 0时成立，则向量a、b不共线.B1如图所示，
8、ABC中，在AC上取一点N，使得AN = AC,1在AB上取一点M，使得AM = fAB,在BN的延长线上取点 P,使得31 NP = 2BN,在CM的延长线上取点 Q,使得MQ = QM时，AP = QA，试确定 入的值.思想与方法11用方程思想解决平面向量的线性运算问题一 1 1 试题：(13分)如图所示，在 ABO中，oC = 4OA , OD = 2 OB,AD与BC相交于点M，设OA = a, OB = b.试用a和b表示向量OM .审题视角(1)用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本要领，要尽可能地转化到平行四边形或三角形中去.(2) 既然Om能用a、b表示，那我们不妨设出
9、 Om = ma + n b.(3) 利用共线定理建立方程，用方程的思想求解.规范解答设 OM = ma+ n b, 则 AM = OM OA=ma + nb a = (m 1) a+ nb.1 1AD = OD OA = 2OB OA = a + ? b.3分又 A、M、D三点共线， AM与AD共线.存在实数t，使得AM = tAD, 即(m 1)a+ nb= t( a+ 1 b .1- (m 1)a+ nb= ta+ 2tb.5分m 1 = t t，消去 t 得，m 1 = 2n,n=2即 m+ 2n= 1.又 T CM = OM OC = ma + nb-a= m 半 a + nb,CB
10、 = OB OC = b7a= 1 a+ b.447分又 C、M、B三点共线， CM与CB共线.10 分存在实数b,使得CM = t1CB ,4 a+ nb= t112分 m 4= 4t1 ,消去匕得，4m+ n= 1.n= t1由得m= 7,门=7，二OM = 7；a +13分批阅笔记 （1）本题考查了向量的线性运算，知识要点清楚，但解题过程复杂，有一定的难度.（2）学生的易错点是，找不到问题的切入口，亦即想不到利用待定系数法求解.（3）数形结合思想是向量加法、减法运算的核心，向量是一个几何量，是有形”的量，因此在解决向量有关问题时，多数习题要结合图形进行分析判断求解，这是研究平面向量最重要
11、的方法与技巧如本题学生易忽视A、M、D共线和B、M、C共线这个几何特征.（4）方程思想是解决本题的关键，要注意体会.思想方法感悟提嵩方法与技巧1. 将向量用其它向量（特别是基向量）线性表示，是十分重要的技能，也是向量坐标形式的 基础.2可以运用向量共线证明线段平行或三点共线问题如aB CD且AB与CD不共线，则AB / CD ;若 A / aa，贝V A、B、C 三点共线.失误与防范1 解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件要特别注意零向量的特殊性.在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错
12、误.课时规范训练（时间：60分钟）A组专项基础训练题组、选择题1给出下列命题： 两个具有公共终点的向量，一定是共线向量； 两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小; 扫=0（入为实数），则入必为零； 人为实数，若：a =血，贝y a与b共线.其中错误命题的个数为2.设P是厶ABC所在平面内的一点， BC + BA = 2BP，则A. PA + PB = 0B. PC + PA = 0C. PB + PC = 0 D. PA + PB + PC = 03.已知向量a, b不共线,A . k= 1且c与d同向c= ka + b (k R), d= a b.如果c/ d,那么B . k= 1且c与
13、d反向C. k= 1且c与d同向D . k= 1且c与d反向、填空题4设a、b是两个不共线向量,AB = 2a+ pb, BC = a+ b,CD = a 2b,若 A、B、D三点共线，则实数p的值为5在平行四边形人吐R，则ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若 AC =H .ZAE +亦，其中cN = Jcd ,1t 为何值时，a, tb, (a+ b)1 6. 如图，在 ABC中，AN = 3NC , P是BN上的一点，右AP = m2 11AC，则实数m的值为三、解答题1 7. 如图，以向量 OA = a, OB = b 为边作？OADB , BM = 3 BC , 用 a、b 表示 OM、ON、MN.&若a, b是两个不共线的非零向量，a与b起点相同，则当三向量的终点在同一条直线上?B组专项能力提升题组、选择题1已知P是厶ABC所在平面内的一点，若CB =入+ PB，其中入 R，则点P 一定在（）A . ABC的内部B. AC边所在直线上C AB边所在直线上D. BC边所在直线上2. 已知 ABC和点M满足MX + MB + MC = 0,若存在实数 m使得 A + AC = mA成立, 则m等于B.3. O是平面上一定点,A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足:O
