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1、2022年高三第二次教学质量监测 数学理一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，是虚数单位.若与互为共轭复数，则（ ）A0 B1 C2 D32.已知均为单位向量，且，则向量的夹角为（ ）A B C D3.已知，则（ ）A B C D 4.我国古代数学名著数书九章中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（注：平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；一尺等于十寸；台体的体积公式）.A 2寸 B3寸 C. 4寸 D
2、5寸5.考拉兹猜想又名猜想，是指对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2.如此循环，最终都能得到1.阅读如图所示的程序框图，运行相应程序，输出的结果（ ）A4 B5 C.6 D76.已知某三棱锥的三视图如图所示，正视图和俯视图都是等腰直角三角形，则该三棱锥中最长的棱长为（ ）A B C. D27.已知函数是奇函数，当时，（且），且，则的值为（ ）A B C. 3 D98.设关于的不等式组表示的平面区域内存在点，满足.则的取值范围是（ ）A B C. D9.将边长为的正方形沿对角线折成一个直二面角.则四面体的内切球的半径为（ ）A1 B C. D10.已知为双
3、曲线的左焦点，点为双曲线虚轴的一个顶点，过的直线与双曲线的一条渐近线在轴右侧的交点为，若，则此双曲线的离心率是（ ）A B C. D11.在中，分别是边的中点，分别是线段的中点，分别是线段的中点， 设数列满足：向量，有下列四个命题，其中假命题是：（ ）A数列是单调递增数列，数列是单调递减数列 B数列是等比数列 C.数列有最小值，无最大值 D若中，则最小时，12.若方程有四个不同的实数根，且，则的取值范围是（ ）A B C. D第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若命题“”是假命题，则实数的取值范围是_.14.两所学校分别有2名、3名学生获奖，这5名学生要
4、排成一排合影，则同校学生排在一起的概率是_.15.过点的直线与圆交于两点，为圆心，当最小时，直线的方程为_.16.已知函数，给出下列四个命题：函数的图象关于直线对称；函数在区间上单调递增；函数的最小正周期为；函数的值域为.其中真命题的序号是_.（将你认为真命题的序号都填上）三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分10分）已知等差数列满足:，该数列的前三项分别加上1,1,3后成等比数列，且.（1）求数列,的通项公式；（2）求数列的前项和.18. （本小题满分12分）在中，分别是角，的对边，且.（1）求的大小；（2）若，求的面积19.
5、（本小题满分12分）如图，菱形中，与相交于点，平面，.（1）求证：平面；（2）当直线与平面所成角的大小为时，求的长度.20. （本小题满分12分）某水泥厂销售工作人员根据以往该厂的销售情况，绘制了该厂日销售量的频率分布直方图，如图所示：将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.（1）求未来3天内，连续2天日销售量不低于8吨，另一天日销售量低于8吨的概率；（2）用表示未来3天内日销售量不低于8吨的天数，求随机变量的分布列及数学期望.21. （本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，且过点.若点在椭圆上，则点称为点的一个“椭点”.（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线与椭圆相交于两
6、点，且两点的“椭点”分别为，以为直径的圆经过坐标原点，试求的面积.22.（本小题满分12分）已知函数，.（1）求函数在上的最小值；（2）对一切，恒成立，求实数的取值范围；（3）探讨函数是否存在零点？若存在，求出函数的零点；若不存在，请说明理由.一、选择题1-5: DABBD 6-10:ABCDA 11、12：CB二、填空题13. 14. 15. 16.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.解：（1）设为等差数列的公差，且，由，（1分）（2）由（1）知，所以，（6分），（7分） ，得，（8分），（9分）所以.（10分）18.解：（）由，得，（1分），（3分），(4分)，（5分
7、）又.（6分）（）由，得，（8分）又，（10分）.（12分）19.解：（1）证明：四边形是菱形，.（1分）平面，平面，（2分），（3分）又平面，平面，（4分）平面.（5分）（2）以为原点，以所在直线分别为轴，轴，以过点且平行于的直线为轴建立空间直角坐标系.（6分）则.设，则，（7分）设平面的法向量为，则（8分）即令，得，（9分），（10分）直线与平面所成角的大小为，（11分）解得或（舍），.（12分）20.解（）由频率分布直方图可知，日销售量不低于吨的频率为：，(1分)记未来天内，第天日销售量不低于吨为事件，则，（2分）未来天内，连续天日销售不低于吨，另一天日销量低于吨包含两个互斥事件和，（3
8、分）则：（4分）.（6分）（）的可能取值为，且，（7分），（8分），（9分），（10分）所以的分布列为（11分）.（12分）21.解：（）由，得，（1分）又，（2分）椭圆，因点在上，得，（3分），（4分）所以椭圆的方程为：；（5分）（）设，则，由以为直径的圆经过坐标原点，得，即 （1）（6分）由，消除整理得：，由，得，而 （2）（7分） （3）将（2）（3）代入（1）得：，即，（8分）又，（9分）原点到直线的距离，（10分），（11分）把代入上式得，即的面积是为.（12分）22.解：（），由得，由得，函数在上单调递减，在上单调递增.（1分）当时，；当时，在上单调递增，（2分）（3分）（）原问题可化为，（4分）设，当时，在上单调递减；（5分）当时，在上单调递增；（6分），故的取值范围为.（7分）（）令，得，即，（8分）当（）知当且仅当时，的最小值是，（9分）设，则，易知在上单调递增，在上单调递减，当且仅当时，取最大值，且，（10分）对都有，即恒成立，故函数无零点.（12分）
