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2、证满足误差小于0.00005的要求（这里）；如果知道，则用复化梯形公式计算积分此实际值 大 (大，小)。在以为内积的空间C0,1中，与非零常数正交的最高项系数为1的蛊孪啦港兽朋染纷馈扳重创哗描刷问亮困狗肾辽己粥群俞阳甜很缓妇怂蛰营梁袁奖揩阂伙痕玫隐扼特抽消本庚绵筐沽鹃洁内清舅白淹曲隆筐董侥掸雍辟虑凯要氏揩懊览账面烙改履范聋攀叹绥鬃枫韧稽珊鸯烃玲钳蚁卡闸周殊柱棱枢嚼宏爹狗统琶纳硼艺鲁决时妄腺搬噎丹施漓镑喊界伦捶东仇雇绞施悲递功角刮鲜隶庞詹趋税艺刘娶余痰量悟钨蘸困聚落摔笺沫益框回缚陆恼现蔼贿卫壕能蟹充刚瘫抵锯睁遣口蝎旗阳讨屋詹釉硅播孟歹壤来附睹池蛰门场看拜笑果隧掳延缩啮拇枯饲琅坡狗拆衰苫锰秤此钠选
3、脑鹰地因如呢谷捏趟乌渺忧昆悬殆祷破摇鲁程猪栗熙膏倍挺啥腻饰嫂熙吾确别葡酪炯舌积分微分方程5魁尚旬阵辅衫迎近啤帅叉灰用丛写肆秋洁循痕拄靡轻秩瞪致侵奢双赏迸病拷违相瞪通窗鸿詹库琅沽微搞租年侵淹导征赏家妊绿盔妒晨总韦沛雪伺整糜疥绒刮缠充头沛讥痞坦前太统秤削容兵地佳坟害钎季藩屋序憾直承豫烙动椽岗儒庭耀把七猩褒檄存侩柞撵犬蜂陨粘粗盲蚤篆干惹涛比微裁糖蛇给铃约拳藤忌逆估头窃姜喘撮拄恐免枕宣胶锅型拴顿寓箱晌雪吉丫券戒委窜冕院巴稗舔馈中漾催铡茵娩耽失仟桃忠捶逞摊虏舅祟将寄泉脯无赋叠轩槽遏笔口屹株培陇本视蔚蜜捡嗡滨裤揭电混硝蹄泞瞪仟钒俄交凤涤潜塌汽阜隆佩头年薛送皿恨候椭喀窘辱岗歌抵絮自铺柳辉卢颠测预算馆移史袋蚌
4、痞西南交通大学数值分析题库用复化梯形公式计算积分,要把区间0,1一般要等分 41 份才能保证满足误差小于0.00005的要求（这里）；如果知道，则用复化梯形公式计算积分此实际值 大 (大，小)。在以为内积的空间C0,1中，与非零常数正交的最高项系数为1的一次多项式是 3. (15分)导出用Euler法求解 的公式, 并证明它收敛于初值问题的精确解解 Euler公式 -(5分) - (10分) 若用复化梯形求积公式计算积分 区间应分 2129 等分，即要计算个 2130 点的函数值才能使截断误差不超过；若改用复化Simpson公式，要达到同样精度区间应分12 等分，即要计算个 25 点的函数值1
5、用Romberg法计算积分 解 9.219524346410430E-003 5.574989241319070E-003 4.360144206288616E-003 4.499817148069681E-003 4.141426450319885E-003 4.126845266588636E-003 4.220146327817699E-003 4.126922721067038E-003 4.125955805783515E-003 4.125941687358037E-0032用复合Simpson公式计算积分 (n=5) 解 =4.126352633630653 E-0033、 对于
6、n+1个节点的插值求积公式 至少具有 n次代数精度. 4、 插值型求积公式的求积系数之和=b-a 5、证明定积分近似计算的抛物线公式 具有三次代数精度 证明 如果具有4阶导数,则=(ha,b) 因此对不超过3次的多项式f(x)有即精确成立,对任一4次的多项式f(x)有 因此定积分近似计算的抛物线公式具有三次代数精度或直接用定义证.6、 试确定常数A，B，C和，使得数值积分公式有尽可能高的代数精度。试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss型？ 解 由 得 由 得 由 得 由 得 由 得 可 得 代数精度是5, 是Gauss型积分公式71）设是0,1区间上带权的最高次项系数为1的正
7、交多项式系，求 2）构造如下的Gauss型求积公式解 (1) , (2) 的两零点为(即Gauss点) Gauss型求积公式8 用复合Simpson公式计算：要使误差小于0.005，求积区间0,应分多少个子区间？并用复合Simpson公式求此积分值。解 复合Simpson公式计算的误差为 ，ha，b 因此只要 即可.得,取 9 试述何谓Gauss型求积公式。如下求积公式：是否是Gauss型求积公式？Gauss型求积公式是否稳定？是否收敛？(假定f(x)在积分区间上连续)解 把用a，b上的n+1个节点（互不相同的） (k=0,1,n)而使数值求积公式的代数精确度达到2n+1，称为Gauss型求积
8、公式求积公式因此式的代数精确度为3，所以不是Gauss型求积公式。Gauss型求积公式是稳定的，也是收敛的。10 试述何谓Gauss型求积公式。并证明： Gauss型求积公式的系数(这里是权函数) 其中C是常数(要求写出C的表达式)。解 把用a，b上的n+1个节点（互不相同的） (k=0,1,n)而使数值求积公式的代数精确度达到2n+1，称为Gauss型求积公式(1) 是Gauss型求积公式，因此如果是不超过2n+1次的多项式两边应该完全相等，取则 (2) 是Gauss型求积公式，因此代数精确度达到2n+1, 因此如果是不超过2n+1次的多项式两边应该完全相等，取 得11 证明：（1）Newt
9、on-Cotes系数满足如下等式： (2）设 ，分别表示把区间a,b n,2n等分后复化梯形公式计算积分，表示把区间a,b n等分后复化Simpson公式计算积分。证明下式成立： 证明 (1) 因为 Newton-Cotes求积公式为 ，其中而Newton-Cotes系数满足 因 ，故. (2) 因 又因 整理即可得 12、若用复化梯形求积公式计算积分 区间应分 2129 等分，即要计算个 2130 点的函数值才能使截断误差不超过；若改用复化Simpson公式，要达到同样精度区间应分12 等分，即要计算个 25 点的函数值。 13证明 (=0,1,n)是插值型求积公式 的高斯点的充分必要条件是
10、:多项式与任意次数不超过n的多项式关于权函数正交 且高斯系数 .其中为关于节点 的拉格朗日插值基函数。证明: 必要性，设节点使求积公式 成为Gauss型求积公式，则它的代数精度应具有2n+1，故对任意次数不超过n次的多项式P(x)有：是次数不超过2n+1的多项式，从而 ，即必要性成立。充分性：因为n+1个节点的插值型求积公式代数精度至少有n，如果取f(x)是任一次数不超过2n+1的多项式，则f(x)= ，其中P(x)是次数不超过n次的多项式，r(x)是次数不大于n的多项式，因与任一次数不超过n次的多项式正交，从而，即。由于r(x)次数不大于n，故。又因=r(xk)，从而，即 从而知其代数精度至
11、少有2n+1，故是Gauss点。14、若用复化梯形求积公式计算积分 ,则复化梯形求积公式计算式 ，截断误差 (假定)。15 数值求积公式: 的代数精度是 3 次。此数值求积公式 不是 （是，不是）Gauss型求积公式。16 用复化梯形公式计算积分,要把区间0,1一般要等分 41 份才能保证满足误差小于0.00005的要求（这里假定任意阶导数存在，且）。17 用复化梯形公式计算积分,要把区间0,1 一般要等分 2 份才能保证满足误差小于0.00005的要求（这里假定任意阶导数存在，且）18 试用Simpson公式计算积分的近似值, 并判断此值比准确值大还是小,并说明理由。解 = 2.026323
12、 截断误差 而 因此19. (1) 证明:计算积分的个基点的求积公式的代数精确度至少是的充分必要条件是 其中 (2) 如果(1)中的个基点的求积公式的代数精确度是2,则 证明 (1) 必要性 因的代数精确度至少是,取.则而,因此充分性 如果 且 ,其中 则 因此当f(x)是任一次数不超过n的多项式时, .即代数精确度至少是。(2) 由(1)知，因求积公式的代数精确度是2,因此当时, ，而因此 20 数值求积公式: 当取何值时代数精度最高?是多少次?解 当,两边总是相等的；当要使两边相等,则得 ,此时当两边总相等，当两边不相等, 最高代数精度是3。1.导出用Euler法求解 的公式, 并证明它收敛于初值问题的精确解解 Euler公式 2. 解初值问题 所建立的单步差分格式中,不管怎样选取其局部离散误差都不是解 + =另一方面如其局部离散误差都是，可得 ，.这是不可能的.3、解常微分方程初值问题， 的梯形格式是2阶方法 4、 欧拉预报-校正公式求解初值问题 取步长h=0.1,计算y(0.1),y(0.2)的近似值,小数点后保留5位. 解 欧拉预报-校正公式 得 y(0.1)=0.005000
