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1、拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析基本要求通过本章的学习，学生应深刻理解拉普拉斯变换的定义、收敛域的概念：熟练掌握拉普 拉斯变换的性质、卷积定理的意义及它们的运用。能根据时域电路模型画出S域等效电路 模型，并求其冲激响应、零输入响应、零状态响应和全响应。能根据系统函数的零、极点分 布情况分析、判断系统的时域与频域特性。理解全通网络、最小相移网络的概念以及拉普拉 斯变换与傅里叶变换的关系。会判定系统的稳定性。知识要点1. 拉普拉斯变换的定义及定义域(1) 定义单边拉普拉斯变换：正变换匚f (t) = F(s) = js f (t)e-stdt0逆变换匚F (s) = f (t)=二 Jgj8
2、F (s )estds2冗 J G js双边拉普拉斯变换： 正变换 F B(s)=s f (t)e-stdt逆变换 f (t)=二卜+必 F (s)estds2兀 J Gjsb(2) 定义域 若b气时，limf(t)e -6 = 0则f(t)e -b在。的全部范围内收敛，积分气就是f (t)的单边拉普拉斯变换j+s f (t)e-stdt存在，即f (t)的拉普拉斯变换存在。g0的收敛域。与函数f(t)的性质有关。 02. 拉普拉斯变换的性质(1) 线性性若 匚f (t) = F (S),见f (t) = F (S)1122K 2为常数时，则C K f (t) +K f (t) =K F (s
3、) +K F (s)11221122(2) 原函数微分若 C f (t) = F (s)则见攀=sF (s) f (0 ) dt-dtnC K I (t) = snF ( s) Z1 snr1 f (r )(0 )r=0，八、dr f (t)八dtr式中f (r)(0 )是r阶导数在0时刻的取值。(3) 原函数积分若匚f (。 = F (s)，则匚J f (t)dt=刘 + f(-1)( ) 式中 /(-1)(0 )=0 /(t)dt8SS -S(4) 延时性若匚f (t) = F (s)，则M f (t - tu (t -1) = - stF (s)(5) s域平移若匚f (t) = F (
4、s)，则匚f (t)e-at = F(s + a)(6) 尺度变换1 s若匚f (t) = F (s)，则匚f (at) = - F(-)(a 0) a a(7) 初值定理 lim f (t) = f (0J = lim sF (s)t - O +s - 8(8) 终值定理 lim f (t) = limsF(s)t T+8s S(9) 卷积定理若匚f (t) = F (s)，匚f (t) = F (s)，则有匚f (t )*f (t) = F (s) F (s)11221212。f (t) f (t)=二F (s) * F (s) =-L 卜 j F (p)F (s - p)dp122 丸
5、j 122兀 j b js 123. 拉普拉斯逆变换(1)部分分式展开法首先应用 海维赛展开定理将F (s)展开成部分分式，然后将各部分分式逐项进行逆变换，最后叠加起来即得到原函数f (t)。(2)留数法留数法是将拉普拉斯逆变换的积分运算转化为求被积函数F(s)est在围线中所有极点的留数运算，即。(-1)F (s) =上 jb+j8F (s)estds =上 j F(s)esds = 2F(s)est的留数 2丸 j b-js2丸 j c极点若Pj为一阶级点，则在极点s = Pj处的留数r =(s-中F(s)estZ X2 = 1111i=11 SPl若 P 为 k 阶级点，则 r =g (
6、s - p ) kF (s )est (k -1)! dsk-11s=pi4. 系统函数(网络函数)H(s)(1) 定义系统零状态响应的拉普拉斯变换与激励的拉普拉斯变换之比称为系统函数，即H(s) = 冲激响应h(t)与系统函数H(s)构成变换对，即H(s)=匚h(t)系统的频率 7，E (s)响应特性H(Jw) = H(s)= |H(jw)emw)式中，|H(jw)是幅频响应特性，中(w)是相s = jw频响应特性。(2) 零极点分布图H(s)=空电=*(s 七)(s %) (s 七)式中，K是系数；z，z，z为H(s)的 D(s) (s - p )(s - p ) (s - p )12m
7、八1 2n零点；P，P，P为H (s)的极点。在s平面上，用“_表示零点，“ X ”表示极 12n点。将H(s)的全部零点和极点画在s平面上得到的图称为系统的零极点分布图。对于实系统函数而言，其零极点要么位于实轴上，要么关于实轴成镜像对称分布。(3) 全通函数如果一个系统函数的极点位于左半平面，零点位于右半平面，而且零点与极点对于jw轴互 为镜像，那么这种系统函数称为全通函数，此系统则为全通系统或全通网络。全通网络函数 的幅频特性是常数。(4) 最小相移函数如果系统函数的全部极点和零点均位于s平面的左半平面或jw轴，则称这种函数为最小相 移函数。具有这种网络函数的系统为最小相移网络。(5) 系
8、统函数H(s)的求解方法 错误!未找到引用源。由冲激响应h(t)求得，即H(s) =Q h(t) o错误!未找到引用源。对系统的微分方程进行零状态条件下的拉普拉斯变换，然后由H(s)= 气? 获得。E(s)错误!未找到引用源。根据s域电路模型，求得零状态响应的像函数与激励的像函数之比， 即为H(s)。5. 系统的稳定性若系统对任意的有界输入，其零状态响应也是有界的，则此系统为稳定系统。(1) 稳定系统的时域判决条件j+h(t)dt M (充要条件)错误!未找到-3引用源。若系统是因果的，则错误味找到引用源。式可改写为心|h(t)dt 0的时间函数，因此，它和傅里叶变换之间有一些差异，例如在时移
9、定理，微分定理和初值 定理等方面。本例只讨论时移定理。请注意本例各函数间的差异和时移定理的正确应用。解答F(s)= Ltu (t 1)= L(t - 1)u(t -1)+ u(t 1)+ -)e-sI s 25 )例4-2分析和傅里叶变换类似，求拉氏变换的时，往往要借助基本信号的拉氏变换和拉氏变换的性质， 这比按拉氏变换的定义式积分简单，为比较起见，本例用多种方法求解。解答方法一：按定义式求解方法二：利用线性叠加和时移性质求解方法三：利用微分性质求解方法四：利用卷积性质求解方法一：按定义式求解F 0=卜 f 0e - st d t 0=J11 e - st d t +0-e -sI sJ2(2
10、 -1 )e 或 d t1011=e - se - s + ss2s21 ()=1 e-s&s2+ J11 e-st d t + 2七-st d t -J21 e-std t 0s011 2221e - 2 s + e - s+e - 2 se s s ss 2方法二：利用线性叠加和时移性质求解由于f(t)=tu(t)- 2(t -1认-1)+(t - 2 认-2)U)=s 2山(t0)= F (s )e - st0于是 F。= ( - 2e-s+e-2)S 2=1 (-e-s) e ss2方法三：利用微分性质求解分析信号的波形仅由直线组成，信号导数的象函数容易求得，或者信号经过几次微分后出
11、现原信号，这时利用微分性质比较简单。将f 6)微分两次，所得波形如图4-2(b)所示。显然Ld2 / 4 -小。- 2 G-1)+d G-2)-( - e - s) _ d 12 _根据微分性质l ddf = s 2 F 0- A-)- sf (-)由图4-2(b)可以看出f (-)= 0,f4 -)= 0于是G )s 2F 0= G-e-sF (s )= 1 ( - e - s)s 2方法四：利用卷积性质求解f ()可看作是图4-2(c)所示的矩形脉冲f ()自身的卷积f 0=4 ()* f ()于是，根据卷积性质 11F ()= F1 (s )F1 (s )所以-e 一 s一 e - s例
12、4-3图4-2( c )31o应用微分性质求图4-3 (a)中题，图 4-3(b)fV (t)= 3面)f() f2(t), f3饥的象函数下面说明应用微分性质应注意的问 (tf (t), f G)是的导数f Q, f Q 八) 的波形。2 3123W (t )= 2 +u (t)解答图 4-3 (a)4 )=8(t) #3o(1)Q )2 )o说明(1)对于单边拉氏变换,图4-4(b)由于1 (t)= f2(t(t)故二者的象函数相同F1。= F2 ()= G)虽然“ (s)= f2 Q但i。2 0因而山；()正山；()对于匕G)由于匕()=0，故乙切。=sF (s )- 0 = 3对于f2 (t),由于f2 G )= 2，故Lf2，(t )= sF 0-2 = 1G匾然/事权。一阶导数相同，但/2（0 ）=2, /3（0 ）=0, 因此f 0= P G）dx + /（0 ）=Jr（x）dx + 22020f 0= fz（jG）dx + /（0 ）=fG）dx 303-0因而F（s）=-F（tA+-f（O ）=-2 ss 2 - sF（y）= %&（）+
