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1、1.函数的定义 （1）映射的定义： (2) 一一映射的定义： (3)函数的定义： 2.函数的性质 （1）定义域： （2）值域： （3）奇偶性（在整个定义域内考虑） 定义： 判断方法：.定义法 步骤：a.求出定义域； b.判断定义域是否关于原点对称； c.求； d.比较或的关系。 图象法 已知： 若非零函数的奇偶性相同，则在公共定义域内为偶函数若非零函数的奇偶性相反，则在公共定义域内为奇函数常用的结论：若是奇函数，且，则；若是偶函数，则；反之不然。 （4）单调性（在定义域的某一个子集内考虑） 定义： 证明函数单调性的方法： .定义法 步骤： a.设； b.作差； （一般结果要分解为若干个因式的乘
2、积，且每一个因式的正或负号能清楚地判断出） c.判断正负号。 用导数证明： 若在某个区间A内有导数， 则在A内为增函数； 在A内为减函数。求单调区间的方法： a.定义法： b.导数法： c.图象法： d.复合函数在公共定义域上的单调性：若f与g的单调性相同，则为增函数； 若f与g的单调性相反，则为减函数。 注意：先求定义域，单调区间是定义域的子集。一些有用的结论： a.奇函数在其对称区间上的单调性相同； b.偶函数在其对称区间上的单调性相反； c.在公共定义域内增函数增函数是增函数；减函数减函数是减函数；增函数减函数是增函数；减函数增函数是减函数。 d.函数在上单调递增；在上是单调递减。 （5
3、）函数的周期性 定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使恒成立 则f(x)叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 例：（1）若函数在R上是奇函数，且在上是增函数，且 则关于 对称；的周期为 ；在（1，2）是 函数（增、减）；=，则 。 （2）设是定义在上，以2为周期的周期函数，且为偶函数，在区间2，3上，=,则= 。3、函数的图象 1、基本函数的图象：（1）一次函数、（2）二次函数、（3）反比例函数、（4）指数函数、（5）对数函数、（6）三角函数。 2、图象的变换 （1）平移变换函数的图象是把函数平；函数的图象是把函数右平；函数的图象是把函数平；函数的图象是把函数平。 （2）对称变换
4、函数与函数的图象关于直线x=0对称；函数与函数的图象关于直线y=0对称；函数与函数的图象关于坐标原点对称；如果函数对于一切都有，那么 的图象关于直线对称。函数与函数的图象关于直线对称。 与关于直线对称。 （3）伸缩变换的图象，可将的图象上的每一点的纵坐标伸长或缩短到原来的倍。的图象，可将的图象上的每一点的横坐标伸长或缩短到原来的倍。例：（1）已知函数的图象过点（1，1），则的反函数的图象过点 。 （2）由函数的图象，通过怎样的变换得到的图象？4、函数的反函数 1、求反函数的步骤： 求原函数，的值域B把看作方程，解出；x，y互换的的反函数为，。 2、函数与反函数之间的一个有用的结论： 3、原函数
5、在区间上单调递增，则一定存在反函数，且反函数也单调递增；但一个函数存在反函数，此函数不一定单调。例1：，的反函数为 。 2：已知，求的反函数。 3：设 。 4：四十五分钟能力训练题十（13题）。 5、函数、方程与不等式 1、“实系数一元二次方程有实数解”转化为“”，你是否注意到必须；当=0时，“方程有解”不能转化为。若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式，你是否考虑到二次项系数可能为零的情形？ 2、利用二次函数的图象和性质，讨论一元二次方程实根的分布。 设为方程的两个实根。若则；当在区间内有且只有一个实根，时，当在区间内有且只有两个实根时，若时 注意：根据要求先画出抛物线，然后写出图象成立的充要条件。注意端点，验证端点。例：1、对于定义在R上的函数若其所以的函数值都不超过1，则m的取值范围 。 2、已知函数的定义域是一切实数，则 。 3、若关于x的方程有实根，则 。 4、设集合A=，B是关于x的不等式组的解集，试确定的取值范围，使。 5、已知方程的两个根为一个三角形两内角的正切值，试求的取值范围。
