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1、升级增分训练最值、范围、存在性问题22厂1. (2016贵阳监测考试)已知椭圆C: y2+ b2=他 b0)的离心率为 有6且椭圆C上 的点到一个焦点的距离的最小值为3 2.(1) 求椭圆C的方程；(2) 已知过点T(0,2)的直线l与椭圆C交于A, B两点，若在x轴上存在一点 E,使/ AEB =90求直线l的斜率k的取值范围.解：(1)设椭圆的半焦距长为 c,c=V6则由题设有a 3!a - c=寸3 -2,解得 a= 3, c= .2,b2= 1,2故椭圆C的方程为号+ x2= 1.3(2)由已知可得，直线l的方程为y= kx+ 2,以AB为直径的圆与x轴有公共点.设 A(x1, y1)
2、, B(x2, y2), AB 中点为 M(xo, yo),2将直线 I: y= kx + 2 代入 + x2= 1,得(3 + k2)x2+ 4kx+ 1 = 0,则= 12k2 120,4k1X1 + x2 =2, x1 x2 =23+ k3+ kX1+ X2-x=2k2,3+ k2y= kx+ 2 =62,3+ k22|AB| =AJ(X1 + X2 2 4X1X2212k2 12 2 ,3 k4 11 + k 223+ k3 + k= 12k - 12 0,63 + k2解得k4 13,即k 矢或k w - 4 13.故所求斜率的取值范围为(-8, 13 44帀，+8).rJ7a巴-X
3、2. (2016西安质检)如图所示，已知椭圆 C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于2，它的一个顶点恰好在抛物线x2= 8y的准线上.(1) 求椭圆C的标准方程；(2) 点P(2,3), Q(2, 3)在椭圆上，A, B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点，当 A, B运动时，满足/ APQ=Z BPQ，试问直线 AB的斜率是否为定值，请说明理由.解：(1)设椭圆C的标准方程为2 2a+b2=1（a b0）.椭圆的一个顶点恰好在抛物线9x = 8y的准线y= 2上,又C=F, a2= b2+ c2,a 2a = 4, c= 2 3.2可得椭圆C的标准方程为話+设 A(x1, y1), B(x2,
4、y2),/ APQ = Z BPQ，贝U PA, PB的斜率互为相反数,可设直线PA的斜率为k,则PB的斜率为一k,直线PA的方程为：y- ,3 = k(x 2),y-谄=k(x-2 ) 联立22消去y,x + 4y = 16,得(1 + 4k2)x2+ 8k( 3 - 2k)x + 4( 3-2k)2- 16= 0,2 8k(2k -问1 + 4k2-8kf 2k近 8kf2k+V31 + 4k2同理可得：X2+ 2=2=,1 + 4k16k2- 4- 1/3kX1+ X2=2，X1- X2=厂,1+ 4k1 + 4ky1- y2kAB =X1- X2k X1+ X2 4kX1- X2直线A
5、B的斜率为定值3. (2016贵阳期末)已知椭圆C的两个焦点是(0, - 3)和(0,3),并且经过点-2, 1 , 抛物线E的顶点在坐标原点，焦点恰好是椭圆C的右顶点F .(1) 求椭圆C和抛物线E的标准方程；(2) 过点F作两条斜率都存在且互相垂直的直线11, 12, 11交抛物线E于点A, B, 12交 抛物线E于点G, H，求AG HB的最小值.2 2解：设椭圆C的标准方程为字+詁=1(a b 0),焦距为2c,则由题意得c=. 3,2a =J+ 仃 3 2+3 + 1 32= 4,a = 2, b2= a2- c2= 1,2椭圆C的标准方程为y + X2= 1.4右顶点F的坐标为(1
6、,0).设抛物线E的标准方程为y2 = 2px(p 0),p= 1,2p= 4,抛物线E的标准方程为y2= 4x.设11的方程：1y= k(x- 1), 12 的方程：y=- (x 1),A(X1, y1), B(x2, y2), G(x3, ya), H(x4, y4).9999消去 y得：kx (2k + 4)x+ k = 0,424= 4k + 16k + 16 4k 0,4xi + X2= 2+ k , X1X2 = 1.同理 X3+ X4= 4k2+ 2, X3X4= 1, AG -HB = (AF + FG ) (-HF + FB ) =AF HF + AF -FB + FG HF
7、 + FG -FB = |AF| |FB|+ |FG | HF |=|X1+ 1| |X2+ 1|+ |X3 + 1| |X4+ 1|=(X1X2+ X1+ X2+ 1) +(X3X4 + X3+ X4+ 1)42当且仅当k= 4k，即k= 1时，AG HB有最小值16.X y264.已知椭圆C:b= 1(a b 0)的离心率为 亏，以原点0为圆心，椭圆 C的长半轴长为半径的圆与直线 2x2y+ 6 = 0相切.(1) 求椭圆C的标准方程；(2) 已知点A, B为动直线y= k(x 2)(k丰0)与椭圆C的两个交点，问：在 x轴上是否存在定点E，使得_EA2+_EA -AB为定值？若存在，试求
8、出点E的坐标和定值；若不存在，请说明理由.解：(1)由e=，得C=龙3 a 3c=a，又以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆为x2 + y2= a2,且该圆与直线2x ,2y+ 6 = 0相切，所以a=.= 6,代入得c= 2,2= + 3k要使上式为定值，即与 k无关,只需 3m2 12m+ 10= 3(m2 6),解得m= 7, 25+ - 2此时，EA 2+ EA -AB = m2 6=；,所以 b9= a所以在x轴上存在定点E 7，0使得-12+ea -AB为定值，且定值为- c2 = 2,2 2所以椭圆C的标准方程为x6 + y2 = 1.-2 2带+y2=1,由6y= k(x 2 ,得(1 + 3k2)x2 12k2x + 12k2 6= 0.设 A(xi, yi), B(X2, y2),212k212k 6所以 X1 + X2=, X1X2 =1 + 3k1 + 3k根据题意，假设x轴上存在定点E(m,0),使得a2+-ea -AEB =(京 + 云百)ea =Ea EB 为定值,则 EA EB = (X1 m, y1)(X2 m, y2)=(X1 m)( X2 m) + y1y22 2 2 2=(k + 1)X1X2 (2k + m)(x1+ X2)+ (4k + m )2 2 23m 12m+ 10 k + m 6
