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1、基于奇异值分解的图像压缩学 院 名 称 专业班级 学生姓名 学 号 1引言随着多媒体技术和通讯技术的不断发展，多媒体娱乐、信息高速公路等不断对信息数据的存储和传输提出了更高的要求, 也给现有的有限带宽以严峻的考验, 特别是具有庞大数据量的数字图像通信, 更难以传输和存储, 极大地制约了图像通信的发展, 因此图像压缩技术受到了越来越多的关注。图像压缩的目的就是把原来较大的图像用尽量少的字节表示和传输, 并且要求复原图像有较好的质量。利用图像压缩, 可以减轻图像存储和传输的负担, 使图像在网络上实现快速传输和实时处理。在数据传输的过程中采用高效的图像压缩技术，能起到节省传输资源、降低传输时间、提高
2、传输效率等作用。数字图像以数据矩阵的形式存储，而矩阵的奇异值分解是一种基于特征向量的矩阵变换方法，目前它在信号处理、模式分析等领域得到了较为广泛的应用。由于图像具有矩阵结构，有文献提出将奇异值分解应用于图像压缩，并取得了成功，被视为一种有效的图像压缩方法。本文在奇异值分解的基础上进行图像压缩。2数字图像处理基础简介一幅图像可定义为一个二维函数f(x, y)，其中x和y是空间（平面）坐标，而在任何一对空间坐标（x，y）处的幅值f称为图像在该点处的灰度。当x，y和灰度值f是有限的离散数值时，我们称该图像是数字图像。数字图像处理是指借助于数字计算机来处理数字图像。数字图像是由有限数量的元素组成的，每
3、个元素都有一个特定的位置和幅值，这些元素被称为像素。图像获取是图像处理的第一步。图像获取有很多方法，最常用的方法就是用传感器如数字摄像机、扫描仪等设备得到。为了产生一幅数字图像，我们需要把连续的感知数据转换为数字形式。这种转换包括两种处理：取样和量化。经过取样和量化，就可以把一幅图像表示为一个如下的矩阵：更一般的矩阵表达方式为：所以，对图像的处理就是对矩阵的处理。图像处理的内容十分广泛，具体而言，可以分为：图像获取、图像增强、图像复原、图像压缩、图像分割等。这些内容都是基于矩阵的处理得到的。在这里我们只讨论基于矩阵奇异值分解的图像压缩。图像数据之所以能被压缩，就是因为数据中存在着冗余。图像数据
4、的冗余主要表现为：图像中相邻像素间的相关性引起的空间冗余；图像序列中不同帧之间存在相关性引起的时间冗余；不同彩色平面或频谱带的相关性引起的频谱冗余。可利用一些编码的方法删去它们，从而达到减少冗余压缩数据的目的。图像压缩可以是有损数据压缩也可以是无损数据压缩。无损图像压缩方法主要有行程长度编码、熵编码法如LZW；有损压缩方法主要有变换编码，如离散余弦变换（DCT）或者小波变换这样的傅立叶相关变换，然后进行量化和用熵编码法压缩和分形压缩（fractal compression）。3矩阵的奇异值分解3.1 矩阵的奇异值对于任何一个矩阵A，都有rank()=rank()=rank(A)。设，是的特征值
5、，是的特征值，它们都是实数。且设则特征值与之间的关系为：，。设， 的正特征值，的正特征值，称，是的正奇异值，简称奇异值。若是正规矩阵，则的奇异值是的非零特征向量的模长。3.2矩阵的奇异值分解若，是的个正奇异值，则存在阶酉矩阵和阶酉矩阵，满足：其中，为奇异对角阵。满足是对角阵，满足是对角阵。的第列为的对应于奇异值对应的左奇异向量，的第列为的对应于奇异值对应的右奇异向量。它们的每一列均为单位向量，且各列之间相互正交。若，是的个正奇异值，则总有次酉矩阵，满足：，其中。3.3 奇异值分解的图像性质任意一个矩阵的奇异值是唯一的，它刻画了矩阵数据的分布特征。直观上，可以这样理解矩阵的奇异值分解：将矩阵看成
6、是一个线性变换，它将维空间的点映射到维空间。经过奇异值分解后，这种变换被分割成3个部分，分别为、和，其中和都是标准正交矩阵，它们对应的线性变换就相当于对维和维坐标系中坐标轴的旋转变换。若为数字图像，则可视为二维时频信息，可将的奇异值分解公式写为：其中，和分别是和的列矢量，是的非零奇异值。故上式表示的数字图像可以看成是个秩为1的子图叠加的结果，而奇异值为权系数。 图像按奇异值分解后，有如下性质：（1）矩阵的奇异值代表图像的能量信息，因而具有稳定性。设，是矩阵的一个扰动矩阵。和的非零奇异值分别记为：和。且，是的最大奇异值。则有：。由此可知，当图像被施加小的扰动时，图像矩阵的奇异值变化不会超过扰动矩
7、阵的最大奇异值，所以图像奇异值的稳定性很好。（2）矩阵的奇异值具有比例不变性。设，矩阵的奇异值为，矩阵()的奇异值为。则有：。（3）矩阵的奇异值具有旋转不变性。设，矩阵的奇异值为，。若是酉矩阵，则矩阵的奇异值与矩阵的奇异值相同。4基于奇异值分解的图像压缩4.1 奇异值分解的图像压缩原理用奇异值分解来压缩图像的基本思想是对图像矩阵进行奇异值分解，选取部分奇异值和对应的左、右奇异向量来重构图像矩阵。根据奇异值分解的图像性质可以知道，奇异值分解可以代表图像的能量信息，并且可以降低图像的维数。如果表示个维向量，可以通过奇异值分解将表示为个维向量。若的秩远远小于和，则通过奇异值分解可以大大降低的维数。对
8、于一个像素的图像矩阵，设，其中，。按奇异值从大到小取个奇异值和这些奇异值对应的左奇异向量及右奇异向量重构原图像矩阵。如果选择的，这是无损的压缩；基于奇异值分解的图像压缩讨论的是，即有损压缩的情况。这时，可以只用个数值代替原来的个图像数据。这个数据分别是矩阵的前个奇异值， 左奇异向量矩阵的前列和 右奇异向量矩阵的前列元素。由于大的奇异值对图像的贡献大，小的奇异值对图像的贡献小，所以可以从r个奇异值生成矩阵中选取前k个近似表现图像A，即取：近似表示图像A。存储图像A需要mn个数值，存储图像需(m+n+1)k个数值，若取：可达到压缩图像的目的，压缩率为：4.2 图像压缩步骤实现用奇异值分解完成数字图
9、像在屏幕上的压缩，达到既大幅减小图像的容量，又基本满足视觉效果的目的。可以分为以下6个步骤：(1)将源图像保存到缓冲区。(2)获取源图像的高度和宽度，创建图像(m*n)的数据矩阵A。(3)对图像矩阵A进行奇异值分解，得到矩阵U、V、S。(4)设置图像的压缩比率，根据压缩比率选择合适的奇异值个数K，舍弃多余的奇异值，得到k*k的矩阵，m*k的矩阵和n*k矩阵。(5)由公式：，得到压缩后的矩阵(6)将变换后的矩阵数据赋值给图像，更新显示变换后的图像。源图像输入格式转换奇异值分解格式转换压缩比输入保存结果奇异值合成格式转换压缩图像输出分解后的数据处理4.3 基于Matlab的简单实现picName
10、= input(请输入图片名：);A = imread(picName);origin = A(:,:,1);temp = im2double(origin);S,V,D = svd(temp);S_row,S_line = size(S);V_row,V_line = size(V);D_row,D_line = size(D);rate = input(请输入压缩比率：);k = rate*V_row*V_line/(V_row+V_line+1);k = round(k);S = S(:,1:k);V = V(1:k,1:k);D = D(:,1:k);result = im2uint8(S*V*D);imshow(result);4.4 结果演示 源图像如图（a）所示，对其进行压缩，分别取压缩比率为80%，65%，50%，30%和20%，其结果分别如下图所示：源图像压缩比率为80%压缩比率为65%压缩比率为50%压缩比率为30%压缩比率为20%5参考文献1 胡乡峰,卫金茂. 基于奇异值分解_SVD_的图像压缩J . 东北师大学报: 自然科学版, 2006.2 曾超，张卫东. 基于奇异值分解的图像压缩及Matlab 实现 . 高校理科研究.3 宋锋. 基于SVD 变换图像压缩的VC 实现J . 电脑知识与技术.
