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1、(一)定义域：1. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ (定义域、对应法则、值域) 相同函数的判断方法：表达式相同；定义域一致 ( 两点必须同时具备 )2. 求函数的定义域有哪些常见类型？ 函数定义域求法：分式中的分母不为零； 偶次方根下的数(或式)大于或等于零； 指数式的底数大于零且不等于一； 对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。正切函数 y tanx x R,且x k ,k2反三角函数的定义域函数 y arcsinx 的定义域是 1, 1 ，值域是 ，函数 y arccosx 的定义域是 1, 1 ，值域是 0, ，函数 y arctgx 的定义域是R ，值域是. ，函数
2、 y arcctgx 的定义域是 R ，值域是 (0, ) .当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变 量的范围，再取他们的交集，就得到函数的定义域。3. 如何求复合函数的定义域？义域是 。 (答： a， a )复合函数定义域的求法：已知 y f ( x)的定义域为 m,n ，求 y f g(x) 的定义 域，可由 m g(x) n解出x的范围，即为 y f g(x) 的定义域。1例 若函数 y f (x)的定义域为 1,2 ，则 f (log 2 x)的定义域2为。11分析： 由函数 y f (x) 的定义域为 1,2 可知： 1 x 2；所以 y f (lo
3、g 2 x)22中有 1 log2 x 2 。21解：依题意知： 1 log2 x 222解之，得 f (log2 x)的定义域为 x | 2 x 4二函数解析式求法一、 待定系数法 ： 在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。例 1 设 f (x) 是一次函数，且 f f (x) 4x 3，求 f (x)解：设 f (x) ax b (a 0) ，则二、 配凑法：已知复合函数 fg(x)的表达式，求 f (x)的解析式， f g ( x)的表达式容易配成 g(x)的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数f (x) 的定义域不是原复合函数的定义域，而是例2已知 f (x1x)x212 (x
4、 0) ，求 f (x) 的解析式xx解：f (x 1x )(x1x)212 ， x2xxx三、换元法： 已知复合函数f g(x) 的表达式时，还可以用换元法求要注意所换元的定义域的变化。例3已知 f ( x1)x2 x ，求 f ( x1)g( x) 的值域。f ( x ) 的解析式。与配凑法一样，解：令 t x 1 ，则 t 1， x (t 1) 2 四、代入法 ： 求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。例 4已知：函数 y x2 x与y g( x)的图象关于点 ( 2,3)对称，求 g(x) 的解析式解：设 M ( x, y) 为 yg(x) 上任一点，且M (x ,
5、y )为 M(x,y) 关于点 ( 2,3)的对称点xx则2yy2，解得：3点 M (x,y )在 y g(x)上x x 4 把 代入得：y 6 y整理得 y x 2 7x 6五、构造方程组法 ： 若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过 解方程组求得函数解析式。1例 5 设 f(x)满足f(x) 2f( ) x,求 f(x)x1解 f(x) 2f( ) x x1显然 x 0,将 x换成 ，得：xf (1) 2f (x) 1 xx解 联立的方程组，得：1例 6 设 f (x)为偶函数， g(x)为奇函数，又 f(x) g(x),试求 f(x)和g(x)的解析式x
6、1解 f(x) 为偶函数， g(x) 为奇函数，又 f(x) g(x)用 x 替换 x 得： f( x) g( x)1x11即 f(x) g(x) x1 解 联立的方程组，得f (x)1x2 1g(x)12xx例 7 已知：f (0) 1，对于任意实数x、 y，等式 f (xy)f (x) y(2x y 1) 恒成立，求解Q 对于任意实数 x、y，等式 f (xy)f(x)y(2xy1) 恒成立，不妨令x 0 ，则有 f( y)f (0)y( y1)1y(y 1) y2 y 1再令y x 得函数解析式为：f (x)2xx1六、赋值法 ： 当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具
7、有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。七、递推法 ： 若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭乘或 者迭代等运算求得函数解析式。f(x)例8 设 f(x)是定义在 N 上的函数，满足f (1) 1 ，对任意的自然数 a,b 都有f (a)f (b)f (a b)ab ，求 f (x)解f (a)f (b) f (ab) ab ， a,bN，不妨令 ax,b 1，得：f (x) f (1)f(x 1) x ，又 f (1) 1,故f (x 1) f (x) x 1 分别令式中的 x 1,2L n 1 得：将上述各式相加得： f （n）
8、 f （1） 2 3n ，（二）：函数值域的求法1、直接观察法 对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。 例 求函数 y=1 的值域y=3+（2 3x） 的值域x2、配方法 配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。例、求函数 y=x2-2x+5，x -1 ，2的值域。求函数 y=（ x2 +x+2）的值域3、判别式法对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有 时也可以用其他方法进行化简，不必拘泥在判别式上面点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出 原函数的值域下面，我把这一类型的详细写出来，希望你能够看懂4、反函数法 直接求函
9、数的值域困难时， 可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值 域。例 求函数 y=3x 4 值域。5x 65、函数单调性法 通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容x5例求函数 y=2x 5 log3 x 1 （2x10）的值域求函数 y=4x1- 3x（x 1/3） 的值域6、换元法 通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角 以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出 值域。函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数值域中同样 发挥作用。例 求函数 y=x+ x 1 的值域。y=x- 3+2x+1 、不等式法利用基本不等式 a+b2 ab ，a+b+c33 abc （ a，b，c R ），求函数的最值， 其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有 时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。例： 多种方法综合运用 总之，在具体求 某个函数的值域时， 首先要仔细、认真观 察其题型特征，然后 再选择恰当的方法，x2=x2x(xx1x 应用公式 a+b+c0)1x 33x2113xx3 3 abc时，注意使 3者的乘积变成常数)(般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法
