《2020年高考数学一轮复习 专题10.13 最值问题练习（含解析）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020年高考数学一轮复习 专题10.13 最值问题练习（含解析）（25页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第十三讲 最值问题【套路秘籍】-千里之行始于足下一圆锥曲线求最值或取值范围1.两种类型（1）涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；（2）求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题2.两种解法（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值，最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求
2、出参数的取值范围；利用基本不等式求出参数的取值范围；利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围3. 解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围【修炼套路】-为君聊赋今日诗，努力请从今日始考向一 单变量最值问题转化为函数最值【例1
3、】已知圆x2y21过椭圆1(ab0)的两焦点，与椭圆有且仅有两个公共点，直线l：ykxm与圆x2y21相切，与椭圆1相交于A，B两点记，且.(1)求椭圆的方程；(2)求k的取值范围；(3)求OAB的面积S的取值范围【答案】（1）y21. （2）. （3）【解析】(1)由题意知2c2，所以c1.因为圆与椭圆有且只有两个公共点，从而b1，故a，所以所求椭圆方程为y21.(2)因为直线l：ykxm与圆x2y21相切，所以原点O到直线l的距离为1，即m2k21.由消去y，得(12k2)x24kmx2m220.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.x1x2y1y2(1k2)x1x2
4、km(x1x2)m2，由，得k21，即k的取值范围是.(3)|AB| ，由k21，得|AB|.设OAB的AB边上的高为d，则S|AB|d|AB|，所以S，即OAB的面积S的取值范围是【举一反三】1已知椭圆C的左、右焦点分别为F1(1,0)，F2(1,0)，且F2到直线xy90的距离等于椭圆的短轴长(1)求椭圆C的方程；(2)若圆P的圆心为P(0，t)(t0)，且经过F1，F2，Q是椭圆C上的动点且在圆P外，过点Q作圆P的切线，切点为M，当|QM|的最大值为时，求t的值【答案】（1）1 (2)【答案】(1)设椭圆的方程为1(ab0)依题意可知，2b4，所以b2.又c1，故a2b2c25，故椭圆C
5、的方程为1.(2)由题意，圆P的方程为x2(yt)2t21.设Q(x0，y0)，因为PMQM，所以|QM| .若4t2, 即t，当y02时，|QM|取得最大值，|QM|max，解得t(舍去)若4t2，即0t，当y04t时，|QM|取最大值，且|QM|max，解得t.综上可知，当t时，|QM|的最大值为.2已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点为F1，F2，且半焦距为1，直线l经过点F2，当l垂直于x轴时，与椭圆C交于A1，B1两点，且|A1B1|=2(1)求椭圆C的方程；(2)当直线l不与x轴垂直时，与椭圆C相交于A2，B2两点，取F2A2F2B2的取值范围【答案】（1）x2
6、2+y2=1；（2）-1,12【解析】(1)由题意可知：c=1，由椭圆的通径公式可知：|A1B1|=2b2a=2，即a=2b2，a2-b2=c2=1，解得：a=2，b=1，椭圆的标准方程：x22+y2=1；(2)由(1)可知椭圆的右焦点F2(1,0)，当直线l与x轴不重合时，设直线l方程x=my+1，A2(x1,y1)，B2(x2,y2)，联立直线与椭圆方程x=my+1x2+2y2=2，整理得：(m2+2)y2+2my-1=0，则y1+y2=-2mm2+2，y1y2=-1m2+2，x1+x2=m(y1+y2)+2=4m2+2，x1x2=(my1+1)(my2+1)=m2y1y2+m(y1+y2
7、)+1=2-2m2m2+2，F2A2F2B2=(x1-1,y1)(x2-1,y2)=x1x2-(x1+x2)+1+y1y2=-m2+1m2+2=-(1-1m2+2)=-1+1m2+2(-1,12，当直线l与x轴重合时，则A2(-2,0)，B2(2,0)，则F2A2F2B2=(-2-1,0)(2-1,0)=-1，F2A2F2B2的取值范围-1,12.3在平面直角坐标系xOy内，有一动点P到直线x=433的距离和到点(3,0)的距离比值是233.（I）求动点P的轨迹C的方程；（II）已知点A(2,0)，若P不在x轴上，过点O作线段AP的垂线l交曲线C于点D，E，求|DE|AP|的取值范围.【答案】
8、（I）x24+y2=1；（II）12,+【解析】（I）设动点P的坐标为x,y，根据题意得x-433(x-3)2+y2=233，化简得曲线C的方程为：x24+y2=1.（II）因为P不在x轴上，故直线AP的斜率不为0，设直线AP的方程为y=k(x-2)，则直线DE的方程为y=-1kx.由y=k(x-2)x24+y2=1得1+4k2x2-16k2x+16k2-4=0.设Px0,y0，所以2+x0=16k24k2+1，即x0=8k2-24k2+1.故|AP=x0-22+y0-02=1+k2x0-22.得|AP|=41+k24k2+1.设Dx1,y1，由椭圆对称性可知|DE|=2|OD|.由y=-1k
9、xx24+y2=1解得x12=4k24+k2，y12=44+k2，|OD|=x12+y12=21+k2k2+4，所以|DE|=41+k2k2+4.所以|DE|AP|=41+k2k2+441+k24k2+1=4k2+1k2+4.设t=k2+4，则k2=t2-4，t2.|DE|AP|=4t2-4+1t=4t2-15t(t2).令g(t)=4t2-15t(t2)，则g(t)=4t2+15t20.所以g(t)是一个增函数，所以|DE|AP|=4t2-15t44-152=12.综上，|DE|AP|的取值范围是12,+.【套路总结】求动点的轨迹方程，一般有如下几种方法：几何法：看动点是否满足一些几何性质，
10、如圆锥曲线的定义等；动点转移：设出动点的坐标，其余的点可以前者来表示，代入后者所在的曲线方程即可得到欲求的动点轨迹方程；参数法：动点的横纵坐标都可以用某一个参数来表示，消去该参数即可动点的轨迹方程. 直线与圆锥曲线的位置关系，一般可通过联立方程组并消元得到关于x或y的一元二次方程，利用直线过已知点（在椭圆上）可求直线与椭圆的另一个交点坐标（用斜率表示），再由距离公式得到目标函数后利用换元法可求函数的值域.考向二 二元变量最值问题转化为二次函数最值【例3】已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的短轴长为23，且离心率为12，圆D:x2+y2=a2+b2(1)求椭圆C的方程，(2)点P在圆D
11、上，F为椭圆右焦点，线段PF与椭圆C相交于Q，若PF=QF，求的取值范围【答案】（1）x24+y23=1（2）7+13,53【解析】（1）由题可知2b=23e=ca=12，又a2=b2+c2，解得b=3a=2椭圆C的方程为x24+y23=1（2）由（1）知圆D:x2+y2=7D:x2+y2=7，点F坐标为1,0设Px1,y1，Qx0,y0，由PF=QF可得：1-x1,-y1=1-x0,-y0，(0)所以，由x12+y12=7可得：又y02=3-34x02，代入，消去y0，整理成关于x0的等式为：则此方程在-2,2上必须有解，=210-6若f-2=0，则=1-73（舍去）或=1+73若f2=0，
12、则=-1-7（舍去）或=-1+7若fx=0在-2,2上有且仅有一实根则由f-2f20得：1+73b0)的右焦点为F(c,0)，点F到直线x=a2c的距离为1.（1）求椭圆E的方程；（2）若过点M(2,0)的直线与椭圆E相交于不同的A,B两点，设P为椭圆E上一点，且满足OA+OB=tOP（O为坐标原点），当|AB|253时，求实数t的取值范围.【答案】(1) x22+y2=1 (2) -2t-263或263t0，得：k212（*）x1+x2=8k21+2k2，x1x2=8k2-21+2k2AB2531+k2x1-x2=1+k2x1+x22-4x1x22531+k264k41+2k22-48k2-21+2k214，结合（*）得：14k212OA+OB=tOPx1+x2,y1+y2=tx0,y0从而x0=x1+x2t=8k2t1+2k2，y0=y1+y2t=1tkx1+x2-4k=-4kt1+2k2点P在椭圆上 8k2t1+2k22+2-4kt1+2k22=2整理得：16k2=t21+2k2即t2=8-81+2k283t24-2t-或263tb0)经过点C(0,1)，且离心率为22.（1）求椭圆N的方程；（2）若点A、B在椭圆N上，且四边形CADB是矩形，求矩形C
