数学建模入门贷款问题冷却定律与破案公平投票

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1、1数学建模入门1、基本实验1.1贷款问题小王夫妇计划贷款20万元购买一套房子，他们打算用20年的时间还清贷款。目 前，银行的利率是0.6%/月。他们采用等额还款的方式(即每月的还款额相同)偿 还贷款。(1) 在上述条件下，小王夫妇每月的还款额是多少？共计付了多少利息？(2) 在贷款满5年后，他们认为他们有经济能力还完余下的款额，打算提前还贷， 那么他们在第6年初，应一次付给银行多少钱，才能将余下全部的贷款还清？(3) 如果在第6年初，银行的贷款利率由0.6%/月调至V 0.8%/月，他们仍然采用等 额还款的方式，在余下的15年内将贷款还清，那么在第6年后，每月的还款额 应是多少？(4) 某借贷

2、公司的广告称，对于贷款期在 20年以上的客户，他们帮你提前三 年还清贷款。但条件是：(i) 每半个月付款一次，但付款额不增加，即一次付款额是原付给银行还款 额的1/2;(ii) 因为增加必要的档案、文书等管理工作，因此要预付给借贷公司贷款总额10%的佣金。试分析，小王夫妇是否要请这家借贷公司帮助还款。解：由题意，设Ak为第k个月的欠款额，r为月利率，x为每个月的还款额,则：A0=200000 第1个月的欠款额：A1 = A0 (1+r) x(1 - r) -1第2个月的欠款额：Az= Ai (1+r) -x联立以上各式可得：Ak= A0 (1+r) k x(1+r) k-1+, +(1+r)+

3、1第k个月的欠款额：Ak= Ak-1 (1+r) xA(1 r)k(1 - r)k -1_ x贷款总月数为n,也就是说，第n个月的欠款额为0,即An = 0,令n=k,贝U每月 的还款额x = Ar(1 r) & T，可见每个月的还款额一定大于贷款额x月利率。(1 +r)n -1据上式分析：(1) r = 0.006 , n= 240, A0= 200000,带入始终可计算出每月还款额 x=1574.70 元，共还款1574.70 X240= 377928.00元，共计付利息177928.00元。(2) 若5年后还清全部贷款，即k= 60,则一次付款额As0= 173034.90元。(3) 从

4、银行调整利率后算起，Ad=173034.90 , n=15X 12=180, r = 0.008，由此 可以得到x = 1817.33元，即每月的还款额应为1817.33元。(4) 根据题意，提前三年即是17年还完贷款额，通过对比我们判断是否考虑借 贷公司。若不考虑借贷公司，每月的还款额x=1574.7元，按每年12个月计，总共的还款 额为 1574.7 X 12X20= 377928元。若考虑借贷公司，每半个月的付款额是原来的一半 ,即1574.699 X 0.5，总的还 款次数是17X 12X 2 = 408,加上付给借贷公司的佣金总的还款额是 1574.699 X 0.5 X 408+2

5、00000X 10%= 341238.596 元。通过对比可知，可以考虑借贷公司。1.2冷却定律与破案按照Newton冷却定律，温度为T的物体在温度为To (ToT)的环境中冷却的 速度与温差T-To成正比。你能用该定律确定张某是否是下面案件中的犯罪嫌疑 人。某公安局于晚上7时30分发现一具女尸，当晚8时20分法医测得尸体温 度为32.6 C , 一小时后，尸体被抬走时又测得尸体温度为31.4 C ,已知室温在几个小时内均为21.1 C，由案情分析得知张某是此案的主要犯罪嫌疑人，但张某矢口否认，并有证人说：“下午张某一直在办公室，下午 5时打一个电话后才离 开办公室”。从办公室到案发现场步行需

6、要5分钟，问张某是否能被排除在犯罪 嫌疑人之外？解：根据题意所示，T (t)为t时刻物体的温度，k为散热系数，To为环境温度, 可得微分方程： 也=k(T _T0)；dtkt则可得t时刻物体的温度T( t)= To Ce ( 1)记晚上 8 时 20 分为 t=0 时刻，T (0) =32.6 C, T (1) =31.4 C, To=21.C.k 0带入(1)式,T(o)=21.1 Ce 0 =32.61T=21.1 Ce =31.4011 +可解得，C=11.5, k=ln10.3-ln11.5 0.11，贝U, T(t)二21.111.5设该女子遇害时间为t, T (t) =37C，代入

7、上式可得t=-2.95 , t=0时刻为晚上8时20分，则遇害时间为8.33-2.95=5.385时23分而张某5时离开办公室，从办公室到案发现场步行需要 5分钟，可见张某不能被 排除在犯罪嫌疑人之外。1.3锻炼想象力、洞察力和判断力的问题(1) 某人早8时从山下旅店出发沿一条山路上山，下午 5时到达山顶并留宿， 次日8时沿同一路径下山，下午5时回到旅店。该人必在两天中的同一时刻经过 路释中的同一地点，为什么？解：假设F(t)表示此人第一天在t时刻离山下的路程，G(t)表示此人第二天在t 时刻离山下的路程，假设山顶到山下的路程为s,则由题意可知：F(8)=0,F(17)=s； G(8)=s,

8、G(17)=0 ;令 H(t)=F(t)-G(t);则H(8)= -s, H(17)=s；又由于H(t)为连续函数，所以由连续函数的零点定理可知：在 t=8,17中间，至少存在一点 t 使 H(t)=O ;也即 F(t)-G(t)=O ;即 F(t)=G(t), 即 可证明这人必在两天中的同一时刻经过路径中的同一地点。(2) 甲乙两站之间有汽车相通，每隔10分钟甲乙两站相互发一趟车，但发车 时刻不一定相同，甲乙两站之间有一中间站丙，某人每天在随机时刻到达丙站，并搭乘最先经过丙站的那趟车。结果发现100天中约有90天到达甲站，大约10 天到达乙站。问开往甲乙两站的汽车经过丙站的时刻表是如何安徘的

9、？ 解：由题意可知， 坐乙站发车的概率为甲的九倍， 假定从甲站发车到乙站经过丙 站的时刻表是： 8：00，8：10，8：20，, ，则从乙站发车到甲站经过丙站的时 刻表应该是： 8：09，8：19，8：29，, ，即从乙站发车到甲站经过丙站的时刻 要比另一个早 1 分钟。(3) 张先生家住在 A 市，在 B 市工作，每天下班后他乘城际火车于 18:00 抵 达 A 市火车站，他妻子驾车至火车站接他回家。一日他提前下班，乘早一班火 车于17:30抵达A市火车站，随即步行回家，他妻子像往常一样驾车前来，在半 路相遇将他接回家。到家时张先生发现比往常提前了 10分钟，问张先生步行了 多长时间？ 解：

10、设想他的妻子驾车遇到他后，先带他去车站，再回家，汽车多行驶了 10分 钟，于是带他去车站这段路程汽车跑了 5 分钟，而到车站的时间是 6：00，所以 妻子驾车遇到他的时刻是 17：55，张先生 17:30抵达 A 市火车站。可见张先生 步行了 25 分钟。(4) 一男孩和一女孩分别在距家 2 公里和 1 公里且方向相反的两所学校上 学，每天同时放学后分别以每小时 4公里和每小时 2公里的速度步行回家。 一小 狗以每小时 6 公里的速度由男孩处奔向女孩， 又从女孩处奔向男孩， 如此往返直 至回到家中。 问小狗奔波了多少路程。 如果男孩和女孩上学时， 小狗也往返奔波 在他们中间，问当他们到达学校时

11、小狗在何处？ 解：男孩和女孩从学校到家的时间都是 0.5 小时，当他们到家时小狗也到家，所 以小狗往返跑的时间也是 0.5小时，由于小狗的速度是每小时 6 公里，因此小狗 所走的路程为 3 公里；设 S 为初始状态时小狗与家的位移， S1 表示孩子到学校时小狗最终位移， i 表示 小狗与人的相遇次数， ti 为第 i 次小狗与人相遇时所经历的总时间，v1， v2， v3分别表示小狗、男孩、女孩的运动速率， Si 表示小狗第 i 次与孩子相遇时小狗的 位移。小狗初始状态S位于家与女孩学校之间(- K Sv0),当t=0时，小狗与 女孩相向而行， i=1 ，之后变为小狗击男孩， 在于男孩相遇( i

12、=2 )之后再追女孩，如此往返，i为奇数时小狗与女孩相遇，i为偶数时小狗与男孩相遇。S=0时，即小狗、男孩、女孩同时从家出发，设小狗先向女孩运动，假设小狗最后停在S处，可以得到方程:Si voti 2Si - v0 t2i为奇数vo -viV。- vi,i为偶数当i为无穷多次时，由定理可得 S=0,对任意的S S三0;即当S=0时，小狗 的最终位置Si 可以为-1,2中的任意数。由上面分析可知，在男孩和女孩上学时小狗从家(S=0)往返奔波于他们之间的情况下，孩子到学校时小狗的最终位置不确定2、加分实验(公平投票问题)某部门推出一专项基金目的在于培养优秀人才， 根据评比结果来确定资助的 额度。许

13、多单位的优秀者都申请了该基金，于是该基金的委员会聘请了数名专家， 按照如下规则讲行评比。(1) 为了公平性，评委对本单位选手不给分；(2) 每位评委对每位参与申请的人(除本单位选手外)都必须打分，且不打相同的 分；(3) 评委打分方法为给参加申请的人排序，根据优劣分别记1分、2分、，依次类推。(4) 评判结束后，求出各选手的平均分，按平均分从低到高排序，依次确定本次 评比的名次，即平均分最低者获得资助最高，依次类推。本次基金申请中，甲所在单位有一名评委，这位评委将不参加对选手甲的评 判，其它选手没有类似情。评审结束后选手甲觉得这种评比规则对他不公平。问选手甲的抱怨是否有道理？若不公平，能否做出

14、修正来解决选手甲的抱怨？解：考虑一般的情况，首先设n个评委给出的评分分别为a1, a2, a3an所以,该选手的平均得分为r仁(a1+a2+an) /n,若存在甲的单位不对其投票，则甲 的得分为r2= (a1+a2+an-i) /n-1，而其他选手为前式若甲的单位对其投票，则二者之差为r2-r1 = (a1+a2+an-i)/n-1 - (a1+a2+an) /n=(a1+a2+an-1)-a n(n-1)/n( n-1)。若n1个评委给的分比给出an评分的(n1/倍大或者小的情况，对甲的得分 有很大的影响，这应该是该评分规则的不公平之处，因此甲的抱怨还是有道理的。为解决该问题，应采取对r1和r2的折衷方案，提出一个简明函数，该函数 满足：y (x/ 是 x 的单调递增函数； rx) ： y(x)： a(x)；y(o)=0，y(n-c/ =1 (其 中C为评委中本单位的人数)；公平起见，可提出度量函数为：y(x)= ;r1(x) 2(x)，以该函数度量选手的得分。