《等差数列求和公式》由会员分享，可在线阅读，更多相关《等差数列求和公式（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、等差数列求和公式等差数列前n项和公式Sn(a1 an)nn(n 1),1 nnaid，是数列部分最重要公式之2 2,学习公式并灵活运用公式可分如下四个层次1. 直接套用公式从公式Sn(aian ) n(aman m 1) n2 2na1n(n 1) d中，我们可以看到公式中2出现了五个量，包括ad,an，n,Sn，这些量中已知三个就可以求另外两个了从基本量的观 点认识公式、理解公式、掌握公式这是最低层次要求2例1设等差数列an的公差为d,如果它的前n项和Sn n ,那么().(A) an2n 1,d2(B)an2n1,d2(C)an2n1,d2(D)an2n1,d2解法1由于Snn2 且 an
2、SnSr1 知,ann2(n 1)22n 1danan 12n1 2(n1)1, d2,选(C).解法2Sn21)dn2,对照系数易知d2,2此时由 na1 n(n 1) n 知 a11,故 an2n 1,选(C).1 111例2设Sn是等差数列an的前n项和，已知一S3与S4的等比中项为S5,S3与3 4531S4的等差中项为1,求等差数列 an的通项an.4解 设an的通项为an a1 (n 1)d,前n项和为& na1d.2上 (抵2由题意知3511 _S3S4 234即 1(3ai3(3a13 21Td)严3 21Td)严4 315 4 2d)(5a1d)2 2524 3、cd) 22
3、3a1 d 5d0d 0化简可得5，解得或2a1 d 2a1 1212由此可知an 1或an 4 (n 1)()12d5a1432 12n.55经检验均适合题意，故所求等差数列的通项为an1 或 an32512n.55、n(n 1)n(n 3)2证明n，,1 2, 2、2 3， ，n.n(n 1)，世,1 2,2 32又凹2 3 42n(n 1).(n 1)，且 1 22, ,2 33,3 41)n 1,2. 逆向活用公式在公式的学习中，不仅要从正向认识公式，而且要善于从反向分析弄清公式的本来面目,体现了思维的灵活重视逆向地认识公式，逆向运用公式，无疑将大大地提高公式的解题功效.n(n 1)2
4、证明由Snnan数列an对于任意自然数n均满足Sn欲证an 1an为常数，(a1 an)n 及 Sm(a1an 1)(n 1)可得a1 (n1)an 1 推出(n 1)an 1a1nan作差可得2nan1 nan nan 2,因此匕 anan 1an 1 a由递推性可知：an 2 an 1 an 1 ana2这是九四年文科全国高考试题，高考中得分率极低an是等差数列.a1d（d为常数），所以命题得证.，我们不得不承认此为公式教学与学习中的一个失误，倘若能重视逆向地认识公式，理解公式，应用公式，还“和”为“项”，结局还能如此惨重吗3. 横向联系，巧用公式在公式的学习过程中，还要从运动、变化的观点
5、来认识公式，从函数及数列结合的角度分 析透彻理解公式,公式Snn(n 1)d表明是关于n的二次函数，且常数项为0,同时也2可以看出点列(n,SJ均在同一条抛物线上，且此抛物线过原点，体现了思维的广阔性，请再 看例2.解设Sn an2 bn，则可得(a 5255b)21212-(a32b 3)-(a42b 4)3 41 1(9a 3b)(16a 4b)2“a0亠a解得或b1b25,所以Sn从而an 1或ann或Sn6226n n，553212n.5设等差数列an的前项和为Sn，知 a312, S120, S130，指出S，S2，S3,，S12中哪一个值最大，并说明理由解由于Snna1 d表明点列
6、(n,Sn)都在过原点的抛物线上，再由S120, S130,易知此等差数列公差 d0，且a10,图象如图所示，易知其对称轴为xx0,x0(6,6.5),于是a60，a70，故S6最大.4恰当变形妙用公式对公式进行适当变形，然后再运用公式是公式应用的较高层次，从而丰富了公式本身的内涵,往往给解题带来捷径，体现了思维的深刻性对于公式Sn 色 an)n ,变形可得2(am an m 1)n (ai am)m (am 1 an)(n m)Sn，2 2 2对于公式Sn nai 哎 Ud ,变形可得 色 ai - 1d,2n2它表明对于任意n N ,点列(n,色)都在同一直线l:y d x (a1 d)上
7、.例6等差数列n22an的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为()(A)130(B)170(C)210(D)260解法1S3m(印a3m)3m2又由于S2m 30 仏聖巴m 100,2m(am 1 a2m) 140, m(a1 a3m) m(am 1 a2m) 140,140 3从而 S3m210,选(C).2解法2由于点(m,一2) (2m,) (3m,-S3m)在同一直线dy X (a1-J-)上,因此m2m3m22S3mS2mS2mSm3m2m2mm，化简可得：S3m 3(S2m Sm)210 ,选(C).3m2m2mm旦成等差数列，从而可得nS解法3由于点列(n,空)均在同一直线上，说明数列n24一5 8一 54ES4S5或3 4 5S3S4S5得解一4-)22 S5 2M5S444一 3OS 3S3一 316从而可求得a41或a45a51a5285故等差数列an通项为an1或an3212n.55对公式深刻而丰富的内涵,提高公式的解题功从以上可以看出，对公式的学习不应仅仅停留在公式的表面 . 忽视或视而不见，而应充分挖掘出这些隐藏在内部的思想方法为我所用 效,才能达到灵活运用公式的较高境界
