23内积空间与希尔伯特空间

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1、23内积空间与希尔伯特空间通过前面的学习，知道“维欧氏空间就是维线性赋范空间的模型，范数相当于向量的模，表明了线性赋范空间的代数结构对于三维向量空间,我们知道向量不仅有模，而且两个向量有夹角，例如8为向量a和0的夹角时有：笆冷或者a.p = a/30 ,其中 0表示两个向量的数量积(或点积或内积)，0|表示向量的模于是便有了直交性、直交投影以及向量的分解等概念,这些均反映了空间的几何结构通过在线性空间上定义内积，可得到内积空间，由内积可导出范数，若完备则为Hilbert空间23.1内积空间定义1.1 设是数域K上的线性空间,若存在映射(，): K ,使得, awK ,它满足以下内积公理

2、：(1) (x,x)0 ； (AAj = 0X=0 ;正定性购负性)(2) (x,刃= (y,x);称性(3) (wv+0y) = a(x,刃+P(z,y) r线性性则称在上定义了内积(，),称(兀刃为a与y的内积r 为K上的内积空间(Inner product spaces).当K = /?时，称为实内积空间；当K = C时，称U为复内积空间.称有限维的实内积空间为欧几里德(Euclid spaces)空间,即为欧氏空间;称有限维的复内积空间为酉(Unitary spaces)空间注 1 :关于复数：设 z = ci+bi eC ,那么 | = yja2 +b2 = oz ； z =/ (

3、cos+Zsin)其中 0 为辐射角= |z| ; z = |z|2 ; ? = z ;对于J wC，有勺 =勺。注2 :在实内积空间中，第二条内积公理共觇对称性变为对称性注3 :在复内积空间中，第三条内积公理为第一变元是线性的，第二变元是共辄线性的.因为(x, ay) = (ay, x) = a(y, x) = a (j, x) = a(x, y),所以有(x, ay + 0乙)=a(x,刃 + 0(x, z).即对于第二变元是共辘线性的.在实内积空间中,第三条内积公理为第一变元、第二变元均为线性的在”维欧氏空间 R中，5、卩钗 .有 0 = |a|0|cos0,即p.0| = |a|

4、0|cos壯问|0| 下面的引理说明这样的性质在内积空间上同样成立如果在内积空间上定义范数|a-| = (a-,a ,其中xeU ,通过Schwarz不等式可证明为线性赋范空间,即需验证INZ J满足范数公理.引理1.1 Schwarz不等式设为内积空间Vm|Uy)|0即0) +x) + AA(y,y)=(%, x)+I(a y) + 2(y, y) + 几(y, x)令八_d2 ,则有o(x,x)-l ,即(y,刃(,刃|(x,y)|=(x,x)(y,y) = |4 -|Hf ,因此g)|M-M . 讨论什么条件下？ Schwarz不等式中的|(.1,刃|卜| |卜|成立验证II 11=

5、（满足范数公理.正定性和（2）齐次性容验证;三角不等式:g有|卜+=|U+ y,-v+），）| = |（x,x+ 刃+ （y,x+ y）W|（x,x+刃 |+|（y,x+y）|外 1M+M+州卜+y|=y0 ,那么有（,儿）Tg,），。）证明因为当Teo时儿Ty ,所以儿有界即存在正实数M ,使得|.V|：,；,） e R , n维欧式空间R上的标准内积定义为（jv, y） = xj + 兀用 + + 兀儿导出的范数为卜，距离为也刃口r-l1-12、复内积空间C”是Hilbert空间.对于X =（X，“，,X”），y = （y,C , n维酉空间C上的内积定义为（x,y） = xlyl +

7、 (L) f a(/)X06/J 4b由荷尔德(H&der)公式知Ks)l The莎* Jxbk(o|卜M (打如亦(爲卜亦，+护+训J卜-训).证明(1)由于在实内积空间中范数卜| = (x,所以|x+ y-|.v-y|： = (a + y,x+ y)-(x- y,x-y)=U A-) + (x, y) + (y, x)+(y, y) 一 (x, x) 一 (x, y) 一 (y, x) + (y, y)= 2(A-,y) + 2(y,A)= 4g) 同理可证复内积空间中的极化恒等式成立口注5 :从上证明过程可知，对于任何内积空间有卜+yT卜_y=4Reg);对应的另一个结果可从下面的证

8、明过程获得:h-+v|r + |x-vf =2|rf+2|y|r .由于内积可诱导出范数，所以一个内积空间可自然而然的看成一个线性赋范空间，然而个线性赋范空间的范数却未必可由它的某个内积导出”什么情况下成立呢？定理1.2内积空间的特征性质线性赋范空间X成为内积空间O Vgywx ,范数满足平行四边形公式卜+才+卜-”卜2卜+2|叶.证明必要性=因为|-v|=(a-, ,所以卜 + y+1| a-=(x +y,x+ y) + x-y,x- y)=(x, a + y) + (y, x + y) + (x, x-y)-(y,x-y)=(x, A + y) + (” X + y) + (x, x-

9、y)-(y,x-y)= (x,2A)+ (y,2y)= 2(A-,A)+ 2(y,y)M+2|T充分性U首先定义内积，当X是实内积空间时,定义1r、(小)；当x是复内积空间时,定义(兀 y) = i (卜 + |f-|-v- y+ /|x + iy- i 卜-iy)下面仅验证实内积空间定义的内积满足正定性、共辘对称性及线性性，对于X是复内积空间时同理可证(练习).由于(ASA0 = i(|x+x|T2x井+弓卜卜即)+2寸卜+耕卜寸) 即(x+y,z) = 2(x,|) + 2(y,|),特别地，取x=0或，=0得(x,Z)= 2(x,|0 r (y,) = 2(y,|);于是(兀+”乙)=(

10、占乙)+ (”乙)利用归纳法可证对于正整数“ r (心乙)=必你)成立，对于有理数上，其中pgN ,有 wr?x注6 :对于线性赋范空间而X言,上述定理表明：如果X上的范数不满足平行四边形公式，那么X上不存在这样的内积,使得它导出的范数就是X上的范数例1.2对于线性赋范空间卩=x|x = (X,x：,.),|xJ炖,兀eC,其中八1 ,范数定 1-1义为卜1，距离为如沪(卜厂：涉，前面章节的结论表明厂为Banach空间,1-1/-I厂为Hilbert空间.证明当”工2时，厂不成为内积空间.证明由上述定理知，只需验证当卩h 2时，U不满足平行四边形公式.令x = (1 丄0,0,，0,).y = (1,-100,0,)，则V ,且|x| = 2 , M=2以及卜+y|=2 , |x-y| = 2 ,于是fr|x+y|2+|x-y|：=8 , 2|.v|： + 2|y|： = 2x27 + 2x2=4x27 ,因此卜+用+卜-*=2卜+ 2|卜当且仅当p = 2 ,即当兀2时厂上不能定义内积(x,x)使得卜| = (x,x)，例L3对于连续函数空间空间C(M

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