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1、7.6圆的方程（1）教学目的：1、使学生掌握圆的标准方程的特点，能根据圆心、半径准确地写出圆的标准方程，能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径2、能根据不同的条件，利用待定系数法、定义法求圆的标准方程3、能运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题一、复习引入：1、具有什么性质的点的轨迹是圆？（圆的定义：平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆）2、求曲线方程的一般步骤为：（1）建立适当的坐标系，用有序实数对表示曲线上任意一点M的坐标；（2）写出适合条件P的点M的集合；(可以省略，直接列出曲线方程)（3）用坐标表示条件P（M），列出方程;（4）化方程为最简形式；（5）证明以化简后的方程的解为坐
2、标的点都是曲线上的点 (可以省略不写,如有特殊情况，可以适当予以说明)二、讲解新课：1、已知圆心为，半径为， 如何求的圆的方程？ 运用上节课求曲线方程的方法，从圆的定义出发，正确地推导出：这个方程叫做圆的标准方程2、圆的标准方程 ：若圆心在坐标原点上，这时，则圆的方程就是3、圆的标准方程的两个基本要素：圆心坐标和半径圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要三个量确定了且0，圆的方程就给定了。这就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件，确定，可以根据条件，利用待定系数法来解决三、讲解范例：例1 求以C(1,3)为圆心，并且和直线相切的圆的方程解：已知圆心坐标C(1,3)，
3、故只要求出圆的半径，就能写出圆的标准方程。因为圆C和直线相切，所以半径就等于圆心C到这条直线的距离，根据点到直线的距离公式，得因此，所求的圆的方程是 变式：求以C(1,3)为圆心，且和直线截得的弦长为8的圆的方程。（注：在求圆的方程时，要注意运用圆的几何意义，使问题解决简化）例2已知圆的方程，求经过圆上一点的切线方程分析：此题关键是求切线的斜率，为此须分两种情形讨论。 解：如图，设切线的斜率为，半径OM的斜率为， 因为圆的切线垂直于过切点的半径，于是 经过点M的切线方程是 ，整理得 因为点在圆上，所以，所求切线方程是点评：1、 “待定系数法”：即设出圆的切线方程，将其代入到圆的方程，得到一个关
4、于或的一元二次方程，利用判别式进行求解。但此法不如用几何方法简练实用。几何方法：利用圆心到直线的距离等于半径(本题利用了圆心到切点的距离为半径的知识)，由此确定了斜率的，从而得到点斜式的切线方程。以上两种方法只能求出存在斜率的切线，若斜率不存在，则要结合图形配补。2、若圆的方程是：，是圆上一点，则过M的切线方程是：。例3求过点，且与圆相切的直线的方程解一：（待定系数法）设切线方程为，即，圆心到切线的距离等于半径，解得， 切线方程为，即，当过点的直线的斜率不存在时，其方程为，圆心到此直线的距离等于半径解二：利用切线方程公式，关键是求出切点坐标。例4一圆过原点和点，圆心在直线上，求此圆的方程。（学
5、生思考、探索不同解法）解法一：（待定系数法）圆心在直线上， 设圆心坐标为， 则圆的方程为， 点和在圆上，解得，所以，所求的圆的方程为解法二：（定义法）由题意：圆的弦的斜率为，中点坐标为， 弦的垂直平分线方程为，即， 圆心在直线上，且圆心在弦的垂直平分线上， 由解得，即圆心坐标为， 又圆的半径，所以，所求的圆的方程为例5已知一圆与轴相切，在直线上截得的弦长为，圆心在直线上，求此圆的方程解：圆心在直线上，设圆的方程为， 圆与轴相切， 又圆心到弦的距离为， ，所以，所求的圆方程为或说明：（1）求圆的方程，常用待定系数法，要注意用部分条件设方程（少设未知数），再用其余的条件求待定的系数； 四、课堂练习
6、：P77T1、2、3、42、已知圆，求：（1）过点A（4，-3）的切线方程（2）过点B（-5，2）的切线方程分析：求过一点的切线方程，当斜率存在时可设为点斜式，利用圆心到切线的距离等于圆的半径列出方程，求出斜率k的值，斜率不存在时，结合图形验证；当然若过圆上一点的切线方程，可利用公式求得解：（1）点A（4，-3）在圆上过点A的切线方程为：（2）点B（-5，2）不在圆上，当过点B（-5，2）的切线的斜率存在时，设所求切线方程为，即由，得此时切线方程为：当过点B（-5，2）的切线斜率不存在时，结合图形可知=-5，也是切线方程综上所述，所求切线方程为：或=-5五、小结 ：1圆的标准方程的概念及推导；
7、2如何求圆的标准方程：待定系数法、定义法3求圆的切线方程的常用方法：公式法、待定系数法。圆的方程（圆的一般方程）教学目标：1.掌握圆的一般方程，知道它的特点；2.能将圆的一般方程化为圆的标准方程，从而求出圆心坐标和半径；3.能用待定系数法由已知条件求出圆的方程教学过程：（一）复习：1、写出圆的标准方程？2、求圆的方程的方法？3、经过一点求圆的切线方程的方法？（二）新课讲解：1圆的一般方程 将上述标准方程展开，整理，得，可见，任何一个圆的方程都可以写成的形式。反过来，形如的方程的曲线是否一定是圆呢？（学生思考、探索） 将配方得： 把方程和圆的标准方程进行比较，可以看出： （1）当时，方程表示以为
8、圆心，为半径的圆； （2）当时，方程表示一个点； （3）当时，方程不表示任何图形结论：当时，方程表示一个圆，此时，我们把方程叫做圆的一般方程2圆的一般方程形式上的特点： （1）和的系数相同，且不等于； （2）没有这样的二次项 以上两点是二元二次方程表示圆的必要条件，但不是充分条件充要条件是？（A=C0，B=0，）说明：1、要求圆的一般方程，只要用待定系数法求出三个系数、就可以了2、圆的一般方程与圆的标准方程各有什么优点？（圆的标准方程：有利于作图。一般方程：有利于判别二元二次方程是不是圆的方程）（三）例题分析：例1求过三点、的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标解：设所求的圆方程为， 、在圆上
9、，解得，所求的圆方程为，圆心坐标为，半径为注意：由于所求的圆过原点，可设原的方程为；本题也可以换一种说法：已知中，三个顶点的坐标分别、，求的外接圆的方程例2已知一曲线是与两个定点、距离的比为的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线解：设是曲线上任意一点，由题意：， ，化简得，这就是所求的曲线方程把方程配方得：，所以方程的曲线是以为圆心，为半径的圆（作图）注意：本题也可以一般化 已知一曲线是与两个定点、距离的比为的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线提示：以直线为轴，线段的中垂线为轴，建立直角坐标系，设，则可以按照上例的方法求解。可得：要注意讨论对曲线的形状的影响例3已知圆与直线相交于、两点，定点
10、，若，求实数的值解：设、， 由，消去得：， 由题意：方程有两个不等的实数根， 由韦答定理：， ，即， 即， ， ，代入得：，即，适合，所以，实数的值为圆的方程（圆的参数方程）教学目标：1.理解圆的参数方程，能熟练求出圆心在原点、半径为的圆的参数方程；2.理解参数的意义；3.理解圆心不在原点的圆的参数方程，能根据圆心坐标和半径熟练地求出圆的参数方程；4.能进行圆的一般方程和圆的参数方程的互化，并能用之解题教学过程：（一）复习：1、圆的标准方程和一般方程2、P（x,y）是图形F上的任意一点，它在平移后图形F上的对应点为P(x,y),平移向量为（h,k）=.则平移公式是？（二）新课讲解：（点题：圆的
11、参数方程）1圆的参数方程的推导 （1）设圆的圆心在原点，半径是，圆与轴的正半轴的交点是，设点在圆上从开始按逆时针方向运动到达点，则点的位置与旋转角有密切的关系：当确定时，点在圆上的位置也随着确定；当变化时，点在圆上的位置也随着变化这说明，点的坐标随着的变化而变化设点的坐标是，你能否将、分别表示成以为自变量的函数？根据三角函数的定义， 显然，对于的每一个允许值，由方程组所确定的点都在圆上。我们把方程组叫做圆心为原点、半径为的圆的参数方程，是参数（2）圆心为，半径为的圆的参数方程是怎样的？圆可以看成由圆按向量平移得到的（如图），由可以得到圆心为，半径为的圆的参数方程是 （为参数）2参数方程的概念在
12、取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标、都是某个变数的函数，即并且对于的每一个允许值，方程组所确定的点都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系、之间关系的变数叫做参变数，简称参数相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲线上点的坐标、关系的方程，叫做曲线的普通方程将曲线的参数方程中的参数消去，可得到曲线的普通方程。参数方程和普通方程可以互化如：将圆的参数方程的参数消去，就得到圆的普通方程（三）例题分析：例1把下列参数方程化为普通方程：（1）（为参数）（2）（为参数）（3）（t为参数）解：（1）(利用同角公式化简)，由得，这就是所求的普通方程（2）（整体代入消元）由原方程组得，把
13、代入得，化简得：（），这就是所求的普通方程（3）平方后加减消元说明：1、将参数方程和普通方程的互化，要注意参数的取值范围与、的取值范围之间的制约关系，保持等价性2、注意消参的方法，及参数的几何性质。例2如图，已知点是圆上的一个动点，定点，当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹是什么？解：设点，圆的参数方程为，设点，由线段中点坐标公式得，即点轨迹的参数方程为，点的轨迹是以点为圆心、为半径的圆【思考】：这个问题不用参数方程怎么解？（相关点法）又解：设， 点是线段的中点，点在圆上， 即点的轨迹方程为，点的轨迹是以点为圆心、为半径的圆变式：若Q分的比为1：2，求Q点的轨迹方程。例3：设圆（为参数）上有且仅有两点到直线-4x+3y=2的距离等于1，则r的取值范围是 例4已知实数、满足，（1）求的最大值；（2）求的最小值解：原方程配方得：，它表示以为圆心，为半径的圆，用参数方程可表示为 （为参数，）， （1） 当，即时，（2）， 当，即时，说明：本题也可数形结合解五小结：1圆心为原点、半径为的圆的参数方程，（为参数）；2圆心为，半径为的圆的参数方程（为参数）；3参数方程和普通方程的互化，要注意等价性4消参的方法。六作业：课本第81页练习第3题；第82页习题第9，10题； 补充：已知曲线的参数方程为（为参数），是曲线上任意一点，求的取值范围
