转角汇流条电阻的仿真计算

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1、转角汇流条电阻的计算【题目：转角汇流条电阻的计算】转角汇流条几何参数如下：a =1 m； d=1m； c= 0.5m； b= 0.5m； e = 10 mm 按二维电流场考虑。1、设注入电流的两个端面的电压为1 V；2、采用有限差分方法，编写程序，计算汇流条电流分布，绘制电流线和等电位 线；说明如何验证程序的正确性和提高计算准确度的方案；3、如不采用数值计算方法，请估算该汇流条电阻，比较估算方法结果和有限差 分方法的结果，说明两种结果差异的原因。估算方法可参考附件中文章，或 者自行提出估算方法。a【解答】1、边值问题分析：1）、三维问题转换为二维问题：可建立如下坐标系。由于题中所给数据为：a

2、=1 m； d=1m； c= 0.5m； b= 0.5m； e = 10mm。a、b、c、d均至少为e的50倍，因此可忽略电势在导体厚度方面的变化，即可将此题放在图中黄色区域（x-y平面）的二维平面上求解。S1S5Y = 8 X106 S / mS2steel plate-A IS4S3 d2）边界条件的分析:本题求解的是恒定电流场，考虑到导体本身的特性以及题中所给的电流流向，易得边界 条件如下:血=0（S2、S3、S5、S6 上）;dn3）场域内部方程:求解区域是导体内部的区域，无自由电荷分布，故易得求解方程为:V2甲=0 （导体内部区域）2、有限差分法求解:在用matlab求解该题中的电阻

3、时，可以采用拉普拉斯方程的5点差分法格式进行有限 差分求解。将上述的L型区域划分成网格，列写满足上述边值条件的差分方程即可求解。各种情况下的差分方程如下:1）在导体内部的情况:4 02，如上所示为导体内部的情况，此时，采用差分法进行计算，有:1 /、甲o = 4（甲】+甲2 +甲3 +甲4）2）在边界上的情况：102 n如上所示为在导体的边界上的情况，因为这样的点都是满足第二类边界条件的点，即位于平面S2、S3、S5、S6上的点，此时，采用有限差分法进行计算，有：1/.、q 七的 + 2p +9）0 4 1233）在拐角处的情况:如上图所示即为在拐角处的情况，即图中L形导体的“凸点”，“凸点”

4、的两条边都是边界，由 于边界处的法向导数都为0,可知边界两侧的电势分布相同，则其5点差分方程为:1- 、 1 ,、甲 o = 4（2% + 2*）=2*+%）3、利用matlab进行有限差分法求解:（1）直接使用矩阵求解:使用matlab来进行以上描述的有限差分法求解，我们可以使用如下的矩阵进行求解:白:中L7nJ(A + I) : +Bn := -A-1B其中，满足第一类边界条件时，设置A+I矩阵中相应的行向量为0, B矩阵为该对应点的电位值，易知这样的甲满足第一类条件；满足第二类边界条件时，（A+I）矩阵中 对应的行向量应按照以上描述对应的设置为1/4和1/2, B矩阵对应的向量均为0；在

5、导 体内部的点，只需将（A+I）矩阵中将各行向量按以上描述设置为1/4，将B矩阵的行 向量全设为0即可。这样，设置好A、B矩阵后，即可按照以上公式直接求出各点的甲。这样求解并做出电流的分布如下图:等位线与场强图像10.90.80.70.60.60.40.30.20.10壬.T+二:l_LmtFT二-4ibr 仁二一二 rr一 二二 一m4L七二一 产二 r 二 Tttt 二 r-trE 二_一 E 二二TT4+-P r r 5c 二一二 _| l r 二 UE 一 - , r二二4T x/.Kxx.mA二二二 1 : / 二二 匚t-;r :-t|1 十 rJb- 、lb-、-kx、;、/.l

6、（2）使用迭代的方法求解：迭代的方程正是在第2点“有限差分法求解”中所阐述的各种情况下的差分方程。根据电位点的位置使用相应的差分方程，进行迭代计算。计算时，取上边界点的电位初 值为IV,其它各点电位初值为0。每迭代一次，求出各点的两次计算结果之差，取其中 最大的值作为误差值，当误差值小于所设误差值上限时，认为精度已达要求，迭代结束。 电阻的求法与矩阵求解中的相同，不再详述。下面为不同网格大小情况下的电流线和等电位线图，误差上限取为10-6,如图所示:网格大小为0.033 x 0.033m2，即划分为30x30网格:等位线与场强图像00.10.20.30.40.60.60.70.80.91求得电

7、阻值为32.985Q网格大小为0.02 X 0.022，即划分为50X50网格:求得电阻值为32.521Q网格大小为0.014 X 0.014m2，即划分为70X70网格:rlo oT-王二1-1trL-TXI.匚全xx、 V刊 vs/s二_-二 一一-_ 1一 一一二-pi - L-3 二一一 一 _ 1 l一 。一 一一 -11 i LIZLjj 二-TTrt1*滓-导壬苍 名Az 24 ww fx、? 一 1必 u -二-tTrr V-、漓_ ? 二 二二f :% 士、z二占二 rh-tb 七J-iMrd: .fxr、ArI.二r-二 I二rr 蛆匕.，2v-x/y、,-L-Sv: r-

8、， Lr.-、* fzF., .-f 二二二 ILTllrJL！r-Bi_rJI-.L-r.,-.r.wxs% fKrXJ一.-二rr L n-FH-ln-lLLIhL-L?1ilsl 1 I 1 .1 st X X hl-. V、:一.!,、J * 二-lsF 、冬：. aejst 1ULSSI 111 X M :;1.七*F * *4 fz二“ L :-1|-1.|.4-十-亏-|-、-Jlv、.飞.|、7、女、.-.I m-*-、.、.气， r?- r I I I- I-!-，- % .I-、-.-、. L、wx-xX& J %2二r L-hlIIL, iL-L-! I)-,-;-、wx

9、w 二-艺7r J JI I 11 - 4 ! 十 T-I-T-I-I 11 I I 11_r w-VH%，j * II JI J-I1I -,_r-F4 十 L.LLI.， QT.;r . A I I I! I 1 丁！；！-+-I-十:一 I - I -111 LI b k b n J J气* J LIIIH ltF Li I I !-+-+-* 一 I I I I I ! ! Iu J ! 1 .1、x !I-lir!4!Iii-l-;J! jsm!I ii、li.*L!-f ，,、&00.10.20.3D.4D.50.60.70.00.91求得电阻值为32.267。对比以上各图可以看出

10、，随着网格越来越小，划分的格点越来越多，等电位线越来 越光滑，而且边界处等电位线垂直于边界的情况越来越好，实际上计算结果越来越接近 于实际情况。而电阻值在逐渐减小，为了判断其趋势及最终的收敛情况，也如矩阵方法中进一步 减小网格面积，增大网格数进行求解，结果如下：网格数30X3050X5070X70100X100200X200300X300电阻值32.985。32.521。32.267。31.969。30.876。结果发现，在一定的范围内，电阻的计算值不收敛。分析有两个可能的原因，首先 是网格的划分仍然不够细，但是迭代法计算较慢，在网格数为300X300时计算了半个小 时才得到结果，因此没有继续

11、增大网格数，因此未能找到收敛值；另一个原因可能是迭 代法本身的算法存在一定的误差，虽然可以控制误差的上限，但并不能完全消除误差，特别是当划分网格数较多时，计算结果较精确，此时误差的影响反而越来越大，因此在 计算电阻值时造成了最终的结果不能收敛于某个固定值。为此取网格数为中间值的四种 情况：50X50，70X70，100X100，200X200，计算其电阻的均值作为迭代法的电阻值，为 31.91。4、结果分析：（1）首先进行等电位线与电流线的分析，根据所给出的电流场情况，电流线及等 电位线应关于y=x直线对称，从矩阵求解与迭代求解结果可以看出，二者均满足这一点。 同时在边界点，等电位线垂直于边界

12、，这一点在划分点数较多，精度较高时，也是满足 的。使用PDEtool进行求解，得到结果如下图所示。对比矩阵求解、迭代求解与PDEtool 求解结果，可以看到三者等位线分布情况基本相同，对比几个重要位置的电场线（电流 线）方向，也基本一致。因此可以验证差分方法得到的结果是正确的。当然，由于差分方法本身是以差分代替微分进行求解，必然存在一定的误差。而在 迭代方法中，由于电位是从某一初值逐步迭代计算得到，也不可能得到准确结果。为了 减小计算误差，首先应当减小网格面积，增大划分网格数，这样差分可以更加接近于微 分从而得到更加精确的结果。另一方面，对于迭代法来说，可以减小迭代的误差上限， 增大迭代次数，从而保证结果的精度。(2)下面分析电阻值的计算。参考文献中给出了一种对宽度相等的L型薄 导体的区域二阶划分方式，可以用于电阻阻值 估算，即将-L型薄导体分为如右图的形式，其中 各部分电阻如下：0.U0.2Z 0.6Z 0.1ZR=三 + 二 o 3y e 2y e ln2R = 18 + 兀1 y e 2 e