《高中数学第二章平面向量2.4平面向量的数量积2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义课后集训新人教》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学第二章平面向量2.4平面向量的数量积2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义课后集训新人教（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义课后集训基础达标1.下列各式：（a）b=（ab）=a(b);|ab|=|a|b|；（a+b）c=ac+bc;(ab)c=a（b c）.正确的个数为（ ）A4 B3 C2 D1解析：考查平面向量数量积的运算律，注意结合律不成立.错，错.答案：C2.若ac=bc（c0）,则（ ）Aa=bBabC|a|=|b|Da在c方向上的投影与b在c方向上的投影必相等解析：由ac=bc得（a-b）c=0,c0,a-b=0或(a-b)c,故A、B、C均错，选D.答案：D3.设向量|a|=8，e是单位向量，当它们的夹角为时，a在e方向上的投影为（ ）A4 B C D8+解
2、析：a在e方向上的投影为：|a|cos=8=4,故选A.答案：A4.(2004全国，3)已知a、b均为单位向量，它们的夹角为60,那么|a+3b|等于（ ）A B C D4解析：|a+3b|=,故应选C.答案：C5.已知ab=0，|a|=2，|b|=3，且（3a+2b）（ka-b）=0,则实数k的值为（ ）A B- C D1解析：由（3a+2b）(ka-b)=3k|a|2-3ab+2kab-2|b|2=0得12k-18=0,所以k=.答案：A6.在ABC中已知|=|=4,且=8，则这个三角形的形状是_.解析：=|cos=44cos=8,cos=，=60|=|,这个三角形是正三角形.答案：等边三
3、角形综合运用7.已知|a|=a，|b|=b，a与b的夹角为,则|a-b|等于（ ）A. B.C. D. 解析：|a-b|2=a2-2ab+b2=a2+b2-2abcos,所以|a-b|=.答案：C8.(2005北京理，3)若|a|=1,|b|=2,c=a+b,且ca,则a与b夹角为（ ）A.30 B.60 C.120 D.150解析：由ca，得ca=0.ca=（a+b）a=a2+ab=1+12cos=0，cos=-.a与b夹角为120.答案：C9.若向量a，b，c满足a+b+c=0,且|a|=3，|b|=1，|c|=4,则ab+bc+ca=_.解析：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab
4、+bc+ca)ab+bc+ca=答案：-13拓展探究10.求证ABC的三条高线交于一点.思路分析1：假设两条高线交于一点，证明另一条高线也经过此点.证法1：如右图，已知AD、BE、CF是ABC的三条高.设BE、CF交于H，且令=b，=c，=h，可得=h-b，=h-c,=c-b.,(h-b)c=0,(h-c)b=0.(h-b)c=(h-c)b.运算并化简得,h(c-b)=0.AH与AD重合.AD、BE、CF相交于一点H.思路分析2：在ABC中任取一点P，设PABC，PBAC,证明PCAB即可.证法2：如右图，设P为ABC内一点，令=a，=b，=c.则=b-a，=c-b,=a-c.当PABC，PB
5、时，有a（c-b）=0,b（a-c）=0.也就是ac-ab=0. ba-bc=0. +得ac-b c=0,(a-b)c=0.备选习题11.(2005天津文，12)已知|a|=2，|b|=4，a与b的夹角为,以a，b为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条长度为_.解析：较短对角线长度为|a-b|，|a-b|2=a2-2ab+b2=4-224cos+16=12,|a-b|=.答案：12.设n和m是两个单位向量，其夹角是60,求向量a=2m+n与b=2n-3m的夹角.解：由|m|=1,|n|=1,夹角为60,得mn=.则有|a|=|2m+n|=.|b|=.所以ab=（2m+n）(
6、2n-3m)=mn-6m2+2n2=-,得cos=.所以a、b夹角为120.13.设O、A、B、C为平面上的四个点，OA=a,=b,=c，且a+b+c=0,ab=bc=ca=-1，求|a|+|b|+|c|的值.解：a（a+b+c）=a0=0，即a2+ab+ac=0，a2-1-1=0，|a|=.同理，|b|=，|c|=.|a|+|b|+|c|=3.14.如右图所示，设i、j是平面直角坐标系内x轴、y轴正方向上的单位向量，且=4i+2j, =3i+4j,证明：ABC是直角三角形，并求它的面积.证明：=（4i+2j）-(3i+4j)=i-2j.=（4i+2j）(i-2j)=4i2+2ij-8ij-4
7、j2=4|i|2- 6|i|j|cos90-4|j|2=0,ABBC，ABC是直角三角形.S=|=|4i+2j|i-2j|=.15.求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和.证明：如下图所示，在ABCD中，=，=，|2=|2=（）2=.而，|2=|2=.|2+|2=.命题得证.2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角课前导引问题导入 已知两个恒力F1=i+2j，F2=4i-5j作用于同一质点，由A（20，15）移动到点B（7,0），其中i、j是x轴，y轴上的单位向量，试求F1、F2分别对质点所做的功.思路分析：A(20,15),B(7,0),=(7-20,0-15)=(-13,
8、-15)=-13i-15j.又由于ij,所以ij=0;力F1对物体所做的功W1=F1=（i+2j)(-13i-15j）=-13i2-41ij-30j2=-13-30=-43(焦耳)；F2对物体做的功是W2=F2=（4i-5j）(-13i-15j)=-52i2+5ij+75j2=-52+75=23(焦耳)实际上，若F1=i+2j=（1，2），=（-13，-15），F1=1(-13)+2(-15)=-43(焦耳)，即两向量对应坐标的积，这是这节课将要学习的两向量数量积的坐标运算.知识预览1.a=（x1,y1）,b=(x2,y2),则ab=x1x2+y1y2.2.若有向线段AB，A（x1,y1）,B(x2,y2),则|=;若=（x,y），则|=.3.a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则abx1x2+y1y2=0.4.两向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则求两向量的夹角的公式为：cos=.1
