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1、电磁学答案第3章第二草 静电场的电介质偶极矩为p=q l的电偶极子，处于场强为E的外电场中，p与e的夹角为（1）若是均匀的,为什么值时，电偶极子达到平衡?(2)如果E是不均匀的，电偶极子能否达到平衡?解:（1 ）偶极子受的力:F =F =qE因而f =- F _受合力为零。偶极子偶极子受的力矩即 T=qEs in当T=0时,偶极子达到平衡,pEsi n=0这种平衡是稳定平衡。=0P 0 E 0是不稳定平衡。=0 ,（2）当E不是均匀电场时，偶极子除受力矩外还将受一个力（作用在两个点电荷的电场力的合力）。所以不能达到平衡。3.2.2 两电偶极子p 1和p 2在同一直线上，所以它们之间距r比它们自
2、己的线度大的很多证明：它们的相互作用力的大小为F=3PlP24，力的方向是：Por1与p 2同方向时互相吸引，反方向时互相排斥。证:已知当r1 时，偶极子在其延长线上点的场强：=占当Pi与P2同方向时，如图p2所受的力的大小:f =Eq=2Piqo(r畀f = - Eq=2piqo(r3rF= F +FPiqi2 opg6r2上2略去2及於等高级小量。8126piqJ3PiP2当Pi与P2反方向时（如图），同理:Piq i20 (r（r f）Piq2 03r2l2 2(二)32Pr(r2略去高级小量得:3PP2F=3.2.3 一电偶极子处在外电场中，其电偶极矩为 ,其所在处的电场强度为（1）求
3、电偶极子在该处的电位能，（2）在什么情况下电偶极子的电位能最小？其值是 多少？（3）多少？解：在什么情况下电偶极子的电位能最大？其值是（1）电位能：W=qu - qU _=q U又由于e= n , n Icos （ 是|与e间夹角）nU E n El cosW= - qEIcos=-p E（2）当p与E 一致时，W= - pE.即=0时电位能最小。（3）当p与E方向相反时，W= pE.即卩=时电位能最大。3.2.4 一电偶极子，由q=1.0 10 8 （库）的两个异号电荷所组成，这两个电荷相距为1=2.0 （厘米），把这电偶极子放在1.0 105牛顿/库伦的均匀外场 中，（1）外电场作用于电偶
4、极子上最大转矩的多大？（2）把偶极子从原来的位置（）转到最大转矩时，外力 所作的功是多大？解：（1）外电场是匀强电场时，偶极子受的力矩为：T=pEsi n当时=2时，力矩最大,T=pE=qIE=10 8 2 10 2105=2 10 3 （牛顿？米）（2）把偶极子从原来的位置（）转到最大转矩时，外力 所做的功：A= 2Td =2 pEsin d0 0=pE=2 10 3（牛顿？米）3 4 1 一平行板电容器面积为S,面板间距离为d,中间充满均匀电介质，已知当一板上自己电荷为Q时，整块介质的总偶极矩为 总，求电容器中的电场强 度。整块介质的总偶极矩为总极化强度设 上、下是介质上下两面的外法线，上
5、=上=Pn= P下=下=Pn= P自由电荷激发的场强：AB=AB极化电荷激发的场强：BA= AB= AB= AB电容器中电场强度：AB = AB3 4 2 一半径为R,厚度为d的均匀介质圆板（Rd）被均匀极化，其极化强度为P,且 平行于板画（如图所示），求极化电荷在圆板中心产生的电 场强度。解：如图所示，在柱坐标系中：是面元法线与极化强度为夹角其中根据对称性分析，极化电荷在圆板中心产生的电场强度只有 y方向分量 （y轴与反方向）,当Rd时,略去高级小量 得：3 4 3在图中A为一块金属,其外部充满均匀介质,其极化率为x,已知 交界面上某点的极化电荷面密度为 ，求该点的自由电荷面密度。解：在静点
6、平衡时，利用高斯定理可得，导体外(即介质内)紧靠导体表面点的场强为:与 反方向,如图所示，是介质表面外法线又由于在介质内：=;求一均匀极化的电介质球表面上极化电荷的分布 ，已知极化强度为，如图 所示解：取球心Q为原点,极轴与 平行的球坐标，由于轴对称性，表面上任一点 A的极化电荷密度 只与 角有关.着也是A点外法线 与 的夹角,故这表明：在右半球 为正，左半球为负；在两半球分界线面上， 在3 4 5图中沿x轴放置的介质圆柱，地面积为 S,周围是真空，已知介 质内个点极化矢量 (为常数)(1) 求圆柱两底面上的极化电荷密度 及；(2) 求出圆柱内体电荷密度 。解: (1) a Pa ?aPa c
7、oskabFb nbPb cos 0 kb(2)由定义得:dSFx dxFx SSdxSkdxSdx346平行板电容器充满了极化率为新的均匀电介质，已知充电后金属板极板上的自由电荷面密度为 ，求电容器的电容C与没有电介质时的电容Co之比。解:P r? P极化电荷的场强：EEoooPlx oEEo -oo0 0自由电荷的场强：Eo与E反方向，E Eo E EoE xEEo 1 x EEo1 xU Edodo 1 xQ oS1 x Co347 空气平行板电容器，面积 S=o.2(米2) , d=1.o(厘米)，充电后断开电 源，其电位差U。3 1o3伏，当电介质充满两版间以后，则电压降至 1000
8、伏, 试计算：(1) 原电容Co ；(2) 每一个导体板上的电量Q(3) 放入电介质后的电容C； 两板间的原电场强度Eo ；(5) 放入电介质后的电场强度E ；(6) 电介质每一面上的极化电荷Q ；电介质的相对介电常数r提示o %。解：1Co8.85 10 12 0.210121.77 10 10 法拉2 Q C0U01.77 10 10 30005.31 10 7 库伦3C5.31 10 了 5.31 10 10 法拉103E。U。d理3 105伏/米10103詈105伏./米6 E E0 EEEE 0Q SE0 E 0S12558.58 103 10100.23.45 10 7 库伦5.3
9、1 10 101.7 10 103.4.8两相距为5.0毫米的平行导体板间均匀充满相对介电03.0 r X 1的电介质，其介质内的电场强度是106伏/米。试求:（1）在导体板上的面电荷密度 0 ；（2）在电介质面上的极化面电荷密度解：（1）利用题结论：Ed1068.58 10 123 2.65 10 5 库/米2P x oEr 1 oE31 18.58 10 12 1061.77 10 5 库米2在相对介电常数为r r x 1的电介质中有一强度为E的均匀电场。在介质内有一球形空腔。求球面上的极化电荷在球心产生的电场强度解：如图所示，在均匀电介质中：P X 0 r 1 EP ? Pcos?是介质
10、表面的外法线即指向球心dE厂訐根据对称性分析可得，E只有z方向分量,dE cossR2 sin d d2s 4RPcos2 sin40R2R2=P = -J_1 E3 03两平行导体板相距5.0毫米，带有等量异号电荷，面密度为20微库/米2，其间有两片电介质，一片厚2.0毫米，r =3.0毫米，r=4.0。略去边缘效应，求各介质内的D E和介质表面的解：如图所示，作一个底在导体内，另一底平行于极板的封闭圆柱形高斯面 根据高斯定理得：D1= 0=2 10 5（库/米2）D2=Di= 0=2 10 5（库/米2）在介质1中的场强:Ei =2 10 58.85 1012=7.53105 （伏 / 米
11、）E = D .20 r22 10 512=5.65 105 （伏/ 米）8.85 1040 r1在介质2中的场强:?11 = P1 ?1 = 0 X1 E10 X1 E1 =-（r1 -1 ）D （ r1 -1）0=-00 r1r13 132 1010 5 （库 / 米 2）3 = P2?3 =0X2 E2n3 =r2 - 1）0r2105=3210 5（库/米2）3）（鲁10 5（库/米2）3）10 52（P2P） 1?21 3.5.2无限大均匀介质平板，厚度为d，相对介电常数为r，其中有密度均匀的自由电荷，体密度为 0，求板内、外的D、E、P。 解：作如图所示的高斯面，由高斯定理得（其中
12、 X是场点在X轴的坐标， 原点在介质板的对称面上）。板内：D内0 xi?r 00E 内（r1）0 E 内在板外:D 外 iiE外iid ?i2 000|?2d ?i2 003.5.3如图所示，一平行板电容器两极板相距为 d，面积为S，其中放有一层 厚为t的电介质，相对介电常数为 r，介质两边都是空气。设两极板(1)(2)(3)间电位差为U,略去边缘效应。试求：介质中的电场强度E,电位移D和极化强度P; 极板上的电量Q极板和介质间隙中的场强E0 ；(4)电容Co解:（1）设空气中的场强为Eo ;U=Eox+Et+ Eo (d-x-t)=Eo (d-t)+Et由高定斯理可知，在两板D间处处相等,D
13、E00t) t0 r 上)rU (d0-(d0（5）画出电力线和电位移线。 解（1）利用高斯定理求出：DnDnq4Pq4P(R r d R)(r d R)Di(rR)r1 040 r1rd R)r22r2rR)r=15(厘米）时:1040 r1r（厘米）r 25（厘米）时:q4 r210 884101523.510（库/米2）时:1084104 0 5 1528 102(牛 / 库)1042521.27 10 8 (库 / 米 2)q10 8 1044 0 r224 0 1 2521.44 103 (牛 / 库)E皿?drrq40 r2r(r RqU n40 r2(dR)q40 r2(d R)
