PID控制器是工业上应用最广泛的控制器之一，它在控制整数阶被控对象时能取得很好的控制效果；然而，对 于一些复杂的实际系统，用分数阶微积分建模比整数阶模型更为精确，为了得到更好的控制效果，将控制器的 阶次扩展到分数阶得到PI入Dp控制器模型本文对包括PI入Dp控制器积分阶次入、微分阶如在内的5个 参数，提出了一种基于遗传算法整定分数阶PID控制器参数的方法，仿真结果表明，对于分数阶系统，采用 PI入Dp控制器会取得比常规PID控制器更好的控制效果，并验证了本方法的有效性PIa Dp控制器比常规PID控制器多了两个可调参数积分阶次入和微分阶次p，控制器参数的整定范围变 大，控制器能够更灵活的控制受控对象，但是控制器参数的增多也使得参数的整定变得困难，控制器参数的好 坏将直接影响着控制效果我们给出了一种基于遗传算法直接整定PIa Dp控制器5个参数的方法，并对分数阶控制器和整数阶控制器 对同一被控对象的控制效果进行了比较，最后给出了一个实际系统的分数阶模型，通过仿真，对比了本文方法 和其他参数整定方法，给出相应结论分数阶系统是用分数阶数学模型能更好描述的一类系统为了区别整数阶模型，分别用G^和G’c表示PI a Dp控制器和常规PID控制器，Gf和Gi表示分数阶被控对象和整数阶被控对象。
分数阶控制器传递函数， Gf\s)的表达式如下：G (s) = K + Ks-入 + K s 四其中，积分阶次A、微分阶次p都大于0，对比于常规的PID控制器Gc (s) = K + K s-1 + K/可以看出，PIa Dp控制器多了两个可调参数，当积分阶次入、微分阶次p都取1时，PIa Dp控制器即为常 规PID控制器，可见常规PID控制器是PIa Dp控制器的特殊形式根据式(6)可以得到分数阶控制系统单位反馈结构图如图1所示图1单位负反馈分数阶闭环控制系统结构图从图1中可以得到，分数阶闭环系统的传递函数G (s)=竺)=Gf(sG(s) s R(s) 1 + Gf (s)Gf (s)分数阶系统的时域分析考虑一类简单的分数阶微分方程a D% y(t) + a Da2 y (t) + + a Dan-1 y(t)+ aD% ny (t) = u (t)其中，u(t)为某已知函数，假设输出信号y(t)及其各阶导数的初始均为0，则可以由Laplace变换写出系统 传递函数模型G(s)=a s%1 + a s%2 + + a s%n-1 + a s%n本文采用Grunwald-Letnikov分数阶微积分定义，可以得到y(t)的每个阶次的微分如下:[t^a ]D^y(t)牝 h-气 乙①(气)y(t — jh)= a t jj=0h-气 y (t) + 况叶)y (t — jh)ljj=iu(t) — £牛'£L (气)y(t — jh)i=1 ' j=1将上式带入方程中(8)可以写出分数阶微分方程的数值解为y(t)= ^^i=1时应用上述算法就可以求得任意输入的分数阶系统的数值解，编写了一个step()函数来求解一般微分方程 的单位阶跃响应曲线。
对于图1所示的分数阶控制系统，编写了 feedback()函数来求取分数阶闭环系统的传递函数，应用step ()函数来求得整个闭环系统的单位阶跃响应基于实数编码遗传算法的分数阶PID控制器参数整定分数阶PID控制器是整数阶PID控制器的一般形式，由于其积分、微分阶次可以在0〜2范围内任意取值， 所以较整数阶PID控制器更具灵活性.然而其参数整定是人们非常关注的问题，因为各参数取值及参数组合 将直接影响控制器控制性能.本文采取了实数编码遗传算法进行参数寻优，该方法是一种不需要任何初始信息 并可以寻求全局最优解的、高效的优化组合方法参数编码及初始种群的产生实数编码具有很高的精度，可以在大空间内搜索与二进制编码相比，实数编码改善了算法的复杂性，提 高了运算效率，不需要对二进制个体的每一位进行操作，克服了二进制编码对解空间划分的不均等性,具有更 好的搜索性能［⑴初始种群作为遗传迭代运算的出发点，它的好坏将直接影响最终的运算结果，在标准遗传算法中通常使用 随机的方法生成初始种群初始种群不仅要求群体规模要适当，而且应在解空问内均匀分布适应度函数的确定适应度函数用于对每代种群中个体的适应度进行检测评估，用与个体适应度成正比的概率来决定当前种群 中每个个体遗传到下一代群体中的概率的大小，从而决定该个体的取舍。
为了获得满意的动态特性，本文选取 误差绝对值时间积分性能指标(ITAE)作为参数选择的最小目标函数，目标函数的取值越小越好，同时为了 保证系统响应的快速性，在目标函数中加入了系统的调节时间ts，得到目标函数 适应度函数f=1/J由前面介绍的方法求得分数阶闭环控制系统的单位阶跃响应，根据单位阶跃响应曲线来求取目标函数J 遗传算法优化分数阶PID控制器参数步骤利用实数编码遗传算法优化分数阶PID参数具体步骤入下：(1) 确定Kp、Ki、Kd、入、p这5个参数的大致范围，进行编码；(2) 随机产生n个个体构成初始种群P (0)；(3) 将种群中各个个体解码成对应的参数值，用此参数求系统单位阶跃响应曲线，再求得目标函数值J 及适应度函数f=1/J;(4) 应用复制、交叉和变异算子对种群P (t)进行操作，产生下一代种群P (t+1)；(5) 重复步骤(3)和(4)，直至参数收敛或者达到预定目标仿真研究分数阶系统一般可以近似为以下三种简单的结构［12］：G(s=上1 0「)a sa2 + a s^i + a2 1 0b s P1 + ba sa3 + a sa2 + a sa1 + a举例如下：对于第II类系统，取被控对象G (s) = 1.5 一 0 / y - -0.5 常规PID控制器控制效果L 分数阶PID控制器控制效果， I I -' r I : [8]s (0.4S1.4 +1)系统输入为一单位阶跃，分别采用整数阶PID控制器和PD Dp控制器对其控制，采样时间为0.01s，仿真 时间为0-10s，给定两种控制器的参数范围，Kp、Kd£[0,10]，Kie[0,1]，入、p e[0,2]，运行程序，整数阶 控制器得到的整定参数Kp=8.6272，Ki=0.0294，Kd=6.2108，分数阶PID 控制器得到一组参数 Kp=6.6240，Ki=0.5859，Kd=2.8596,入=0.0192，p =1.3985,仿真曲线如图5所示：1.41.2A f \10.8 tIf'I' '0 y 0.60.4-0.2 常规PID控制器控制效果 一 分数阶PID控制器控制效果00 2 4 6 8 10图5 00 2 4 time 6 8 10图6被控对象参数变化时的效果类系统输出对比曲线y常规PID控制器控制效果分数阶？.控制器控制效果图5可以看出，采用分数阶PID控制器的控制效果明显要优于常规PID控制器控制效果。
保持控制器参 数不变，改变被控对象分母第一项阶次得到仿真图如图6、700 2 4 time 6 8 10图7被控对象参数变化时的效果图6、7分别控对象分母第一项阶次变化为2.64、2.872的效果，同样，从图中可以看出，分数阶PID控 制器具有更强的鲁棒性给定不同结构的分数阶被控制对象，限定相同的整定范围，采用遗传算法分别整定常规PID控制器参数 和分数阶PID控制器参数，通过仿真，对比两种控制器的控制效果，并对其的鲁棒性做了仿真研究，结果表 明，在被控对象为分数阶时，采用分数阶PID控制器会取得比常规PID控制器更好的控制效果，而且分数阶 PID控制器较常规PID控制器具有更强的鲁棒性遗传算法能够有效的对分数阶PID控制器包括微积分阶次 在内的5个参数进行寻优，获得良好的控制效果希望搞这一方面的同学们从中能够得到一点帮助，如有需要可加以讨论q360691412。