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1、数列综合专题专题（一）数列一、知识点汇总（一）特殊数列-等差等比数列知识点等差数列等比数列1.定义-= （2）或=+ （）或（0，0）2.通项公式=+（-1）=+（-）=3.中项+=2 +=2（中项），成等差数列+=2+=2=（中项），成等比数列=反之，不一定成立（反例=0）4.项的性质+=+=+抽取角码成等差数列的项构成的新数列仍为等差数列如：、+=+=抽取角码成等差数列的项构成的新数列仍为等比数列仍是等比数列 5.前n项和公式=A+B=A（1-）6.和的性质，-，-，成等差数列项数为2+1（奇数）=（其中+=+=2， 为中间项）项数为偶数2n是等差数列，-，-，成等比（-1）保证0项数为偶
2、数时，=7.判断或证明方法1）定义法：-= 2）中项法：2=+以上两种方法用于证明数列为等差数列3）通项法：=K+（形如一次函数）4）前项和法：=A+B（形如二次函数不含常数项）这两种方法小题直接用。1）定义法： （0常数）或= （0，0）2）中项法：= （0）3）通项法：=A （指数型）4）前项和法：1，=A（1-）或=A+B （A+B=0）方法3）和方法4）小题直接用。8.构造差比为等差数列，则为等比数列 公比为为正项等比数列，则为等差数列 公差为。(二)递推数列求通项类型方法1.或累加法2.或累乘法3.待定系数法（构造等比数列）4.取倒数5.共存同除乘积6.已知，求检验7. 与共存消一个
3、留一个8.周期数列通过列出前几项，探求周期9构造特殊数列依据题意，适当的构造等差、等比数列（三）一般数列求和欲求和先看通项通项格式求和方法等差、等比数列公式法通项可以拆为几个可以求和的通项的和差（常见等差等比）分组求和通项=等差等比错位相减（其中为等差数列），裂项相消备注倒序相加二、课前热身1.等比数列中，那么的值是 （ ）A. B. C. D. 2.已知an为等差数列，a1a3a5105，a2a4a699.以Sn表示an的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是()A21 B20 C19 D183已知数列an中，a11,2nan1(n1)an，则数列an的通项公式为()A. B. C. D.4设
4、为数列的前n项和，则的值为()A BCD课前热身答案1.C 2. B3. B4. D三、典例分析题型一：公式法求和 适用类型：例1.已知数列是等差数列，。(1)求数列的通项公式（2）令，求数列的前n项和。例1.（1）（2）变式训练1已知等比数列，(1)求数列的通项公式（2）令，求数列的前n项和。变式1：（1）（2）提炼1：题型二：分组求和 适用类型：例2已知数列中，(1)求证数列是等比数列；（2）求数列的前n项和。例2. （1）略（2）变式训练2.已知数列中， 。（1）证明：数列是等比数列；（2）求数列的前n项和。变式2：（1）略（2），提炼2：题型三：错位相减求和 适用类型：例3已知数列的前
5、n项和为，且,数列中，点在直线上。（1）求数列、的通项公式；（2）设，数列的前n项和，求例3. （1），变式训练3数列满足：。(1)记：求证数列是等比数列；（2）求数列的通项公式；（3）令，求数列的前n项和变式3：（1）略（2），拓展延伸：已知数列an的前n项和Sn和通项an满足Sn(1an)(1)求数列an的通项公式；(2)若数列bn满足bnnan，求证：b1b2bn.拓展延伸：（1）（2）提炼3：题型四：裂项相消求和 适用类型：例4设正项数列的前n项和满足，（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和例4. （1）（2）变式训练4在等差数列中，为的前项和， （）求数列的通项公式；（）
6、若数列满足（），求数列的前项和 变式训练4：（1）（2）提炼4：四、课后巩固提升练习（一）选择题1. 在数列an中，若 a1 = 2，2an+1 = 2an + 1，则 a101 的值为 ( )A. 49B. 50C. 51D. 522. 在等差数列an中，a1 - a4 - a8 - a12 + a15 = 2，则 a3 + a13为 ( )A. 4B.C. 8D.3. 已知，若这个数列的前n项之和等于 9，则n= （ ）A. 98B. 99C. 96D. 974. 等差数列an中，a1 + a4 + a7 = 39，a3 + a6 + a9 = 27，则an的 前9 项和为（ ）A. 66
7、B. 99C. 144D. 2975. 若数列an的前 n 项和 Sn = 2n2 + 5n - 2，则此数列一定是 ( )A. 递增数列B. 等差数列C. 等比数列D. 常数列6. 等差数列共有 2n + 1 项，所有奇数项之和为 132，所有偶数项之和为 120，则 n 等于 ( ) A. 9B. 10C. 11D. 127. 等差数列an中，a10，Sn 为前 n 项和，且 S3 = S16，则 Sn 取最大值时，n 等于 ( )A. 9 B. C. 9 或 10D. 10 或 118. 设由正数组成的等比数列中，公比 q = 2，且 a1 a2 a30 = 230，则 a3 a6 a9
8、 a30 等于 ( )A.B.C.D.9. 设等比数列an的前 n 项和 Sn = 3n - c， 则 c 等于 ( )A. 0B. 1C. 2D. 310. 一个等比数列的前 n 项和为 48，前 2n 项和为 60，那么前 3n 项和( )A. 84B. 75C. 68D. 6311.已知数列满足，则数列的最小值是 （ ）A.25 B.26 C.27 D.28（二）填空题1. 若函数 f(x)满足 f(x + 1)= f(x)+ 1 且 f(3)= 4，则 f(100)=_2. 已知数列an，a1 = 2，an+1 = an + 3n + 2，则 an = 3. 如果等差数列的前 5 个偶
9、数项的和等于 15，前三项的和等于 -3，则a1 = ，d = 4. 在正项等比数列an中，若a1a5 + 2a3a5 + a3a7 = 25，则 a3 + a5 _5. 已知等差数列an的公差 d 0，且 a1，a3，a9 成等比数列，则的值是 6.等比数列an中，公比 q = 2，log2a1 + log2a2 + log2a3 + + log2a10 = 25，则a1 + a2 + + a10 = （三）解答题1已知an是由正数组成的数列，a11，点(，an1)(nN*)在函数yx22的图象上(1)求数列an的通项公式；(2)若数列bn满足b12，bn1bn，求bn.2已知等比数列an中
10、，a164，公比q1，a2，a3，a4又分别是某等差数列的第7项，第3项，第1项(1)求an；(2)设bnlog2an，求数列|bn|的前n项和Tn.3已知数列an前n项和Sn2n23n，数列bn是各项为正的等比数列，满足a1b1，b3(a2a1)b1.(1)求数列an，bn的通项公式；(2)记cnanbn，求cn的最大值四、课后巩固提升练习答案一、选择题1. D2. B3. B4. B5. A6. B7. C8. B9. B10. D11.B二、填空题1. 101 2. 3. a1 = -2，d = 1 4. 5 5. . 6.三、1. （1）（2）2.（1）（2）3.（1）（2），第 11 页 共 12 页
