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1、 专题二角平分线与角的对称性一、教学目标：1、知识与技能：培养学生认识并能运用角平分线所在直线是角的对称轴这一特点,利用角的对称性解决相关题目.2、过程与方法：培养学生观察图形,研究问题的能力,掌握等量变化的技巧.3、情感态度与价值观：指导相应的学习方法，使学生不仅学会数学，而且会学数学。二、教学重点、难点：1、教学重点：掌握角的对称性与角平分线的关系.2、教学难点:如何利用这种对称性得到线段和角的等量关系.三、教学方法：引导发现、练习提高四、教学手段：多媒体电脑、黑板五、具体容：一复习引入角平分线的常用使用环境根本图形当角平分线构成的等量关系和“三角形结合的时候，可以构造轴对称图形.当角平分
2、线构成的等量关系和“距离结合的时候,可以利用角平分线的性质.当角平分线构成的等量关系和“等腰三角形结合的时候,可以利用等腰三角形“三线合一.二例题例1 :如图1,在ABC中, AB=AC, A=100,BD为B的平分线,图1求证:BC=BD+AD设计思路:这道题要利用角平分线构造轴对称图形,截长补短是常用辅助线,可以借助这道题感受作辅助线的意义.分析:容易想到在BC上截BE,使BE=BD,再来证明AD=EC由可得DBC=20, DCE=40,连结DE,那么DEB=(180-20)2=80,得DE=EC.只需证明DE=AD.观察图形,可以在BC上截BF=BA,便构造出BDF与BDA全等,得DF=
3、AD,接下来再证明DF=DE即可.证明:在BC上取E、F,使BE=BD,BF=BA,连结DF、DE.在ABC中,AB=AC,A=100,ABC =C=(180-100)2=40.BD平分ABC,ABD =FBD=20, 又BD=BD , BA= BF,ABDFBD.DF=AD,BFD=BAD=100.DFE=180-100=80.BD=BE,DEF= (180-20)2= 80.DFE =DEF.DE=DF=AD.在DEC中,EDC=80-40=40,EDC =C.DE=EC, AD=EC.BC=BE+EC=BD+AD.点拨:这道题需要利用割补法,构造另一个三角形与之全等,再利用全等三角形对应
4、元素相等的性质,证得命题成立.例2 如图1,在ABC中,AD是BAC的平分线,从ABC两顶点B、C分别向BAC的平分线作垂线BE和CF,垂足分别是E、F,又BC的中点为P .图1求证: PEF=PFE.设计思路:融入角平分线和垂直共同构造轴对称图形.分析:在这道题中,CF、BE分别是过角两边上的点向角平分线所作的垂线段,“垂直和“角平分线都是构造轴对称图形的根本元素.因此只要分别延长CF、延长BE都可构造轴对称图形.在得到的轴对称得到了中点,点F、E、P分别是所在线段中点,因此再用中位线即可得到平行关系,最后利用平行关系代换等角即可得证.证明:延长CF交AB于N,延长BE交AC延长线于M.AD
5、是BAC的平分线,3=4. 在ANF和ACF中,AFCN,得AFN=AFC=90,又AF=AF,ANFACF.NF=CF,同理可得BE=ME.点P是BC中点,PF、PE分别为CNB和BCM的中位线.PFBN,即PFAB,1=3.同理,PECM,即PEAC.2=4.1=2,即PEF=PFE.点拨:观察图形中的“垂直和“角平分线,这些都是构造轴对称图形的根本元素,在轴对称图形中我们可以利用对应线段等、角等的关系进展等量代换.例3 09海淀二模ABC是等边三角形，P为平面的一个动点，BP=BA，假设PBC180，且PBC平分线上的一点D满足DB=DA，1当BP与BA重合时如图1，BPD=；2当BP在
6、ABC的部时如图2，求BPD的度数；3当BP在ABC的外部时，请你直接写出BPD的度数，并画出相应的图形设计思路:参加旋转,使得这道题目中的对称性不是那么好找了,但如果有前面的铺垫,这道题可以很好的使学生体会角平分线的作用.分析：由于BPD并不在一个特殊三角形中，直接求它的度数是很困难的，因此想到可以转移角，它所在的BPD各个角中，只有PBD由于BD是PBC角平分线的缘故与其它角有等量关系，因此这就是这道题的突破口.当角平分线与“三角形结合时，可以构造轴对称图形,容易想到连接CD,接下来再结合边的等量关系证明全等即可.图2-1解：1BPD=30 . 2如图2-1，连结CD解法一： 点D在PBC
7、的平分线上，1=2ABC是等边三角形，BA=BC=AC，ACB= 60BP=BA，BP=BCBD= BD，PBDCBDBPD=3DB=DA，BC=AC，CD=CD，BCDACDBPD =30解法二：ABC是等边三角形，BA =BC=ACDB=DA，CD垂直平分ABBP=BA，BP=BC 点D在PBC的平分线上， PBD与CBD关于BD所在直线对称BPD=3BPD =30 3BPD= 30或 150图3-2图3-1 图形见图3-1、图3-2点拨:当我们遇到题目当中有很多等量关系的情况时,需要找到架接等量关系的桥梁,在这道题目中,有三组等量关系:关于等边ABC的,关于BP=BA的,关于DA=DB的
8、,而找到AB这座“桥却是很重要的,它是等量代换的重要元素.另外,在第三问画图时,需要注意全面考虑点P、点D的可能性.有规律的是,点D一定在线段AB的垂直平分线上.例4 08正方形ABCD的边长为2，E是射线CD上的动点不与点D重合，直线AE交直线BC于点G，BAE的平分线交射线BC于点O1如图1，当CE=时，求线段BG的长；图12当点O在线段BC上时，设，BO=y，求y与x的函数解析式；3当CE=2ED时，求线段BO的长 设计思路:到了例4,构造轴对称图形已经不是难度,而需要适度提升找数量关系的难度.分析:在这道题目中,有这样的字眼: E是“射线CD上的动点，这本身就意味着关于点E的位置是由两
9、种可能性的,需要依题意探究位置可能性.第(1)问可以直接从CE入手,自然得到DE的长,用相似得BG长度.第(2)问中的x就比拟不常规,是比值的形式,但线段量的关系一直用比表示,并不便利,因此可以将一条线段长用含x和另一条线段长的式子来表示.接下来,将BO代换到角平分线的另一边,就可以把x、y都放到一组相似三角形中去了.第(3)问显然要结合点E的位置进展讨论.解：1在边长为2的正方形中，得，又，即，ADEGCE,，得，2当点在线段上时，过点作 ，垂足为点，为的角平分线， 在正方形中，又，得在RtABG中,AB=2,BG=2+2x,B=90,，易证FOGBAG,，即，得，；图3-13当时，当点在线
10、段上时，如图3-1,即，由2得；当点在线段延长线上时,如图3-2，CE=4,ED=DC =2, 在RtADE中,AE=.设交线段于点，图3-2是的平分线，即，又，即，得点拨:找到边的关系是这道题的关键,可利用的条件很多,有相似、角平分线性质、勾股定理和正方形性质,只要找到中心量，用它将需要的线段表示出来就可以了。三练习ADCEB练习1.09中考如图，等腰ABC中，底边，的平分线交AC于D，的平分线交BD于E，设，那么AABCDABCDNM练习209如图，在锐角中，的平分线交于点分别是和上的动点，那么的最小值是_ 4练习3.如图,AD是ABC的角平分线,EF是AD的垂直平分线,交BC的延长线于点
11、F,连接AF。求证:BAF=ACF.证明:AD是ABC的角平分线,BAD=CAD.EF是AD的垂直平分线,FA=FD.FAD=FDA.又ACF=FDA+CAD,BAF=FAD+BAD,ACF=BAF.练习4.,如图,ABC中，ABC=3C, AE平分BAC,BEAE于E.求证：AC-AB=2BE.证明: 延长BE交AC于点F.AE平分BAC1=2.又AEB=AEF=90,AE=AE.ABEAFE.AB=AF, 3=4,BE=FE.ABC=3C,又ABC=3+5=4+5=C+5+C=2C+5.3C=2C+5.C=5.BF=FC.AC-AB=AF+FC-AB=FC=BF=2BE.AC-AB= 2B
12、E.练习5.09宣武二模如图，在ABC中，CAB、ABC的平分线交于点D，DEAC交BC于点E，DFBC交AC于点F求证：四边形DECF为菱形证明：证法一：连结CD. DEAC，DFBC， 四边形DECF为平行四边形.CAB、ABC的平分线交于点D,点D是ABC的心. CD平分ACB，即FCDECD，DFBC,FDCECD， FCDFDC FCFD， 平行四边形DECF为菱形证法二：过D分别作DGAB于G，DHBC于H，DIAC于IAD、BD分别平分CAB、ABC，DI=DG，DG=DHDH=DIDEAC，DFBC，四边形DECF为平行四边形，SDECF=CEDH =CFDI，CE=CF平行四边形DECF为菱形 四总结角平分线所在直线是角的对称轴,利用这个特点构造和利用轴对称图形是我们的常用思路,本节课通过一系列提升例题、练习题可以培养学生观察图形，构造对称的能力.五反思虽然本节课列举了一些轴对称图形的构造情况以与根本方法,但仍不可能盖全,应该让学生从根本的图形关系上掌握这种构造技巧. /
