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1、第四章 回归分析课后作业参考答案4.1 炼铝厂测得铝的硬度x与抗张强度y的数据如下：68537084607251837064288298349343290354283324340286(1)求y对x的回归方程(2)检验回归方程的显著性()(3)求y在x=65处的预测区间(置信度为0.95)解：(1) 1、计算结果一元线性回归模型只有一个解释变量其中：x为解释变量，y为被解释变量，为待估参数，位随机干扰项。使用普通最小二乘法估计参数上述参数估计可写为所求得的回归方程为：实际意义为：当铝的硬度每增加一个单位，抗张强度增加1.80个单位。2、软件运行结果根据所给数据画散点图由散点图不能够确定y与x之
2、间是否存在线性关系，先建立线性回归方程然后看其是否能通过检验线性回归分析的系数模型 非标准化系数标准化系数T值 P值95% 系数的置信区间 学生残差 下限上限1常数项193.95146.7964.1450.00386.039301.862 x1.8010.6850.6812.6290.0300.2213.381由线性回归分析系数表得回归方程为：，说明x每增加一个单位，y相应提高1.801。(2) 1、计算结果回归方程的显著性检验(F检验) 线性回归效果不显著 线性回归效果显著在给定显著性水平时，所以拒绝，认为方程的线性回归效果显著回归系数的显著性检验(t检验)在给定显著性水平时，所以拒绝，认为
3、回归系数显著，说明铝的硬度对抗张强度有显著的影响。回归方程的线性显著性检验(r检验) x与y线性无关 x与y线性相关在给定显著性水平时，所以拒绝，认为x与y之间具有线性关系。2、软件运行结果模型摘要模型R修正的估计的学生误差10.681(a)0.4630.39622.685由上表得r=0.681，说明y与x的之间具有线性关系。方差分析表模型 平方与自由度平均平方值F值P值1回归平方与3555.54113555.5416.9090.030(a) 残差平方与4116.9598514.620 总平方与7672.5009 由方差分析表知，p值小于给定的，说明回归方程通过F检验，回归方程显著。线性回归分
4、析的系数模型 非标准化系数标准化系数T值 P值95% 系数的置信区间 学生残差 下限上限1常数项193.95146.7964.1450.00386.039301.862 x1.8010.6850.6812.6290.0300.2213.381由线性回归分析系数表知，p值小于给定的，认为回归系数显著，说明铝的硬度对抗张强度有显著的影响。综上所述，建立的回归方程通过以上的r检验、F检验、t检验，证明回归方程效果显著。(3)当=65时，代入上述回归方程得=310.996在1-a的置信度下，的置信区间为 95%置信度下的预测区间为 255.988 366.004。4.2 在硝酸钠()溶解度试验中，对不
5、同温度测得溶解于100ml的水中的硝酸钠重量y的观测值如下:041015212936516866.771.076.380.685.792.999.9113.6125.1(1)求回归方程(2)检验回归方程的显著性(3)求y在时的预测区间(置信度为0.95)解： (1) 1、计算结果一元线性回归模型只有一个解释变量其中：t为解释变量，y为被解释变量，为待估参数，位随机干扰项。使用普通最小二乘法估计参数上述参数估计可写为所求得的回归方程为：实际意义为：在温度为0时，硝酸钠的溶解度为67.5313，温度每升高一度，溶解度增加0.8719。2、软件运行结果根据所给数据画散点图由散点图可以看出y与t之间存
6、在线性关系，因此建立线性回归模型如下线性回归分析的系数模型 非标准化系数标准化系数T值 P值95% 系数的置信区间 学生残差 下限上限1常数项67.5310.535126.3090.00066.26768.796 t0.8720.0160.99954.7470.0000.8340.910由线性回归分析系数表得回归方程为：，说明温度每增加一度，溶解度相应提高0.872。(2) 1、计算结果回归方程的显著性检验(F检验) 线性回归效果不显著 线性回归效果显著在给定显著性水平时，所以拒绝，认为方程的线性回归效果显著回归系数的显著性检验(t检验)在给定显著性水平时，所以拒绝，认为回归系数显著，说明温度
7、对硝酸钠的溶解度有显著的影响。回归方程的线性显著性检验(r检验) t与y线性无关 t与y线性相关在给定显著性水平时，所以拒绝，认为t与y线性相关。2、软件运行结果模型摘要模型R修正的估计的学生误差10.999(a)0.9980.9971.0147由上表得r=0.999，说明y与t之间线性关系显著。方差分析表模型 平方与自由度平均平方值F值P值1回归平方与3086.25213086.2522997.2870.000(a) 残差平方与7.20871.030 总平方与3093.4608 由方差分析表知，F值很大，p值很小，回归方程通过F检验，说明回归方程显著。线性回归分析的系数模型 非标准化系数标准
8、化系数T值 P值95% 系数的置信区间 学生残差 下限上限1常数项67.5310.535126.3090.00066.26768.796 t0.8720.0160.99954.7470.0000.8340.910由线性回归分析系数表知，p值很小，通过t检验，认为回归系数显著，说明温度对硝酸钠的溶解度有显著的影响。综上所述，建立的回归方程通过以上的r检验、F检验、t检验，证明回归方程效果显著。(3)当=25时，代入上述回归方程得=89.328在1-a的置信度下，的置信区间为 95%置信度下的预测区间为 86.8113 91.8450。4.3 对同一个问题，两人分别在做线性回归。甲：取样本值，得回
9、归方程乙：取样本值，得回归方程(1)如何判断这两个回归方程是否相等(给定显著性水平)？(2)若相等，如何求一个共同的回归方程？解：检验 若，则拒绝其中检验 若，则拒绝其中检验 若，则拒绝这三步当中只有一个是拒绝原假设，则两回归方程不同。(2)共同的回归方程为：其中，4.6 某化工厂研究硝化得率y与硝化温度、硝化液中硝酸浓度之间的统计相关关系。进行10次试验，得实验数据如下表：16.519.715.521.420.816.623.114.521.316.493.490.886.783.592.194.989.688.187.383.490.9291.1387.9588.5790.4489.879
10、1.0388.0389.9385.58试求y对的回归方程。解：用所给的数据建立多元回归方程并进行检验模型摘要模型R修正的估计的学生误差10.927(a)0.8590.8190.76066由上表得r=0.927，说明y与x的之间线性关系显著。方差分析表模型平方与自由度平均平方值F值P值1回归平方与24.724212.36221.3650.001(a)残差平方与4.05070.579总平方与28.7749由方差分析表知，F值很大，p值很小，回归方程通过F检验，说明回归方程显著。线性回归分析的系数模型 非标准化系数标准化系数T值 P值95% 系数的置信区间 学生残差 下限上限r1常数项51.7986
11、.0798.5210.00037.42466.172x10.3360.0850.5643.9720.0000.1360.536 x20.3520.0650.7705.4230.0000.1980.505由线性回归分析系数表知，与的p值都很小，通过了t检验，认为回归系数显著，说明硝化温度与硝化液中硝酸浓度对硝化得率均有显著的影响。通过以上的r检验、F检验、t检验，证明回归方程效果显著。最后得到的回归方程为：说明硝化温度每增加一度，硝化得率增加0.336%；硝化液中硝酸浓度每增加1%，硝化得率增加0.352%。4.4 某建材实验室再作陶粒混凝土强度试验中，考察每立方米混凝土的水泥用量x（kg）对2
12、8天后的混凝土抗压强度y()的影响，测得如下数据15016017018019020021022023024025026056.958.361.664.668.171.374.177.480.282.686.489.7（1）求y对x的线性回归方程，并问：每立方米混凝土中增加1公斤水泥时，可提高的抗压强度是多少？（2）检验线性回归方程效果的显著性（）；（3）求回归系数的区间估计（）；（4）求时，的预测值及预测区间。解：1.计算结果（1）一元线性回归模型：只有一个解释变量 Y为被解释变量，X为解释变量，与为待估参数， 为随机干扰项。用普通最小二乘法（Ordinary least squares, OLS）估计与记上述参数估计量可以写成： 带入数字得：所以求得的回归方程为：y=10.283+0.304x，即 x每增加一个单位，y相应提高0.304（2）回归方程的显著性检验：总体平方与,简记为S总或Lyy回归平方与,记为S回或U残差平方与,记为S残或Qe SST=SSE(Qe)+SSR(U)对总体参数提出假设 H0： b1=0， H1：b10F检验：因为所以，拒绝原假设。T检验：因为|t|2.2281,所以拒绝原假设，即对方程有显著影响。线性关系的显著性检验：代入数据得：r=0.999拒绝原假设，即X与Y有显著的线性相关关系对总体参数提出假设 H0： b0=0，
