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1、圆内接四边形【学习目标】1了解圆内接四边形和四边形的外接圆的定义； 2掌握圆内接四边形的对角互补.【要点梳理】要点一、圆内接四边形如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个 圆叫做四边形的外接圆.要点二、圆内接四边形性质定理圆内接四边形的对角互补.圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）. 要点诠释：圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与 圆周角定理结合起来在应用时要注意是对角，而不是邻角互补【典型例题】类型一、圆内接四边形1如图，在圆的内接四边形ABCD中，ZABC=120，则四边形ABCD的外角Z
2、ADE的度 数是（）A. 130B. 120C. 110D. 100【思路点拨】先根据圆内接四边形的对角互补及邻补角互补得出ZADC+ZB=180， ZADC+ZADE=180，然后根据同角的补角相等得出ZADE=ZB=120.【答案】B;【解析】解：四边形ABCD是圆内接四边形，.ZADC+ZB=180,VZADC+ZADE=180，AZADE=ZB.VZB=120，AZADE=120.【总结升华】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形对角互补的性质是解答 此题的关键.举一反三：【变式】如图，四边形ABCD是圆内接四边形，ZBAD=108 E是BC延长线上一点，若 CF平分ZDCE
3、，则ZDCF的大小是（）A52B54C56D60【答案】B.【解析】解：四边形ABCD是圆内接四边形，ZBAD=108, E是BC延长线上一点, ZDCE=ZBAD=108. CF 平分 ZDCE,.ZDCF冷 ZDCE=54.2. （2016聊城）如图，四边形ABCD内接于00, F是CD上一点，且DF=BC,连接CF并延长交AD的延长线于点E,连接AC.若ZABC=105, ZBAC=25,则ZE的度数为（）A. 45 B. 50 C. 55 D. 60【思路点拨】先根据圆内接四边形的性质求出ZADC的度数，再由圆周角定理得出ZDCE的 度数,根据三角形外角的性质即可得出结论.【答案】 B
4、.解： 四边形ABCD内接于OO,ZABC=105,AZADC=180 -ZABC=180 - 105=75. E F=B C,ZBAC=25,.ZDCE=ZBAC=25,.ZE=ZADC-ZDCE=75- 25=50.故选B.【总结升华】本题考查的是圆内接四边形的性质,熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题 的关键.举一反三：【变式】在囹O的内接四边形ABCD中，AB=AD,囹C=110,若点E在AD上，求囹E的度数.【答案与解析】解：连接BD，亟 C+囹 BAD=180,亟BAD=180 - 110=70,0AB=AD,00ABD=0ADB,亟ABD誌(180 - 70) =55,囹四边形A
5、BDE为圆的内接四边形,00E+0ABD=180,亟E=180 - 55=125.3如图，0O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F.(1) 若0E=0F 时，求证：0ADC=0ABC；(2) 若0E=0F=42。时，求囹A的度数；(3) 若囹E=a, 0F=P，且a邙.请你用含有a、B的代数式表示囹A的大小.【思路点拨】(1)根据外角的性质即可得到结论；(2) 根据圆内接四边形的性质和等量代换即可求得结果；(3) 连结EF,如图，根据圆内接四边形的性质得HECD=0A，再根据三角形外角性质得 0ECD=01+02，则0A=01+02，然后根据三角形内角和定理有0A+01+02+
6、0E+0F=180,即 20A+a+P=180,再解方程即可.【答案与解析】解：(1) 0E=0F,00DCE=0BCF,00ADC=0E+0DCE, 0ABC=0F+0BCF,00ADC=0ABC；(2)由(1)知 0ADC=0ABC,00EDC=0ABC,亟 EDCFADC,亟 ADC=90,亟A=90 - 42=48；(3)连结EF,如图，囹四边形ABCD为圆的内接四边形,00ECD=0A,00ECD=01+02,00A=01+02, 00 A+01+02+0E+0F=180,囹2 囹 A+a+B=180,CL4 P00A=9O -2【总结升华】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形
7、的对角互补，在应用此性质 时，要注意与圆周角定理结合起来.在应用时要注意是对角，而不是邻角互补.举一反三：【变式】已知：如图，ZEAD是圆内接四边形ABCD的一个外角，并且BD=DC.求证：AD平分ZEAC.证明：如图，TZEAD是圆内接四边形ABCD的一个外角, AZEAD=ZDCB.VBD=DC,AZDBC=ZDCB.又 VZDBC=ZDAC, .ZEAD=ZDAC,即 AD 平分ZEAC.4.如图，已知ABCD是圆0的内接四边形，AB=BD, BM丄AC于M,求证：AM=DC+CM.【思路点拨】首先在MA上截取ME=MC，连接BE,由BM丄AC，根据垂直平分线的性质，即可得到BE=BC,
8、 得到ZBEC=ZBCE；再由 AB=BD，得到ZADB=ZBAD，而ZADB=ZBCE,则ZBEC=ZBAD，根据 圆内接四边形的性质得ZBCD+ZBAD=180,易得ZBEA=ZBCD，从而可证出 ABEDBC， 得到 AE=CD，即有 AM=DC+CM.【答案与解析】证明：在MA上截取ME=MC，连接BE，VBM 丄AC,.BE=BC,.ZBEC=ZBCE,VAB=BD,AB=BD,.ZADB=ZBAD, 而 ZADB=ZBCE, .ZBEC=ZBAD, 又 VZBCD+ZBAD=180,ZBEA+ZBCE=180,.ZBEA=ZBCD,VZBAE=ZBDC,.ABE9ADBC,.AE=CD，.AM=AE+EM=DC+CM.【总结升华】此题考查了圆周角定理、圆的内接四边形的性质、全等三角形的判定与性质以 及线段垂直平分线的性质等知识.此题综合性较强,难度适中,解题的关键是准确作出辅助 线,掌握圆的内接四边形对角互补与在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等定理的 应用.
