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1、第三章 完全信息静态博弈正如我们在第二章中所指出的那样，局中人在博弈中所享有的信息量对于博弈的结果有着重大的影响，博弈中的信息对称程度（或不对称程度）也决定着博弈的特征和结果。除此之外，博弈中各局中人在选择其行动时的先后顺序也决定着博弈的特征和结果。譬如，有两个销售同样产品的销售商A和B打算进入某一区域性市场。由于这个区域市场对产品的需求是有限的，当他们都同时进入该区域市场时，他们各自占有的市场规模都偏小，从而造成1个单位的亏损；但是，当只有一个销售商进入该区域性市场时，则获得1个单位的利润；当然，不进入市场时的利润为零。假如A和B同时进行决策或者他们在进行各自的决策时并不知道另一方的选择，则
2、博弈就被称为是一种“静态”博弈，刻划它们的支付情况的矩阵被称为“支付矩阵”，见表3.1。表3.1 市场进入的静态博弈B进入不进入A进入1, 11, 0不进入0, 10, 0A和B的行动选择范围都是“进入”或“不进入”。当B选择“进入”时，A的最优行动选择是“不进入”，而给定A选择“不进入”时，B的最优选择是“进入”。因此，不进入，进入是一个纳什均衡。类似地，进入，不进入也是另一个纳什均衡。A进入不进入进入不进入进入不进入(1, 1)(1, 0)(0, 1)(0, 0)BB下面，我们将这个博弈作一种修改，假定博弈是“动态”的，即A和B在行动选择上有“先”与“后”的顺序。假定A先选择，B在A完成了
3、其选择后再进行自己的行动选择，并且B在进行行动选择前知道A的选择结果。此时，我们用图3.1来表示这个博弈。图3.1 市场进入的动态博弈：A先行动在图3.1中，空心和实心的小圆点被称为决策结（decision nodes），位于决策结旁边的字母代表在这个决策结处进行行动选择的局中人，该局中人在此决策结处进行行动选择。通常，整个博弈中进行第一个行动选择的决策结用空心圆点表示。图中的线段被称为“枝”（branches），一个枝表示位于该枝上端决策结处的局中人在该决策结可能选择的一个“行动”。最下方的枝的下端被称为终点结（terminal nodes），当博弈进行到任一终点结时，博弈过程就告结束。终点
4、结处的向量表示博弈进行到此处从而结束博弈时局中人的支付，向量中从左端数起第一个数字是最先行动的局中人的支付，第二个数是第二行动的局中人的支付等等。每一个枝旁边的文字指出了该枝代表的行动。博弈的行动顺序在图中是从“上”到“下”，现在，我们来看看这个博弈的“均衡”是什么。当A选“进入”时，B接着就会选“不进入”；当A选“不进入”时，B接着选的是“进入”。A比较两种选择所获得支付，从而选择“进入”。于是，博弈只有一个“均衡”，即进入，不进入。均衡结果是：A选“进入”，B选“不进入”。图3.1中的几何图形常被称为“博弈树”。显然，行动有先后之分的“动态”博弈与“静态”博弈相比会给出不同的预测结果。下面
5、，我们再将上述“动态”博弈中局中人A和B的行动顺序作一下修改，即假设B先行动，A在观察到了B的行动选择后，再进行自己的行动选择。我们用图3.2来表示这个博弈。B进入不进入进入不进入进入不进入(1, 1)(1, 0)(0, 1)(0, 0)AA图3.2 市场进入的动态博弈：B先行动显而易见，图3.2与图3.1所表达的博弈相比除行动的先后顺序不同外，其他结构特征完全相同。所以，均衡结果是：A选“不进入”，B选“进入”。这样，我们看到，博弈的行动顺序会影响博弈的预测结果。我们通常将支付矩阵（或代数形式）表达博弈的方式称为博弈的“战略式”表述（strategic form representation
6、）或标准式表述（normal form representation），而将用图3.1和图3.2中那种“博弈树”表达博弈的方式称为博弈的“扩展式”表述（extensive form representation）。两种表述方法本质上是相同的，但通常用战略式表述表达静态博弈较为方便，而动态博弈用“扩展式表述”更为直观一些。譬如，我们用表3.2中的战略式表述来表示由图3.1给出的动态博弈。表3.2 用战略式表述表示图3.1中的动态博弈B进入，进入进入，不进入不进入，进入不进入，不进入A进入1, 11, 11, 01, 0不进入0, 10, 00, 10, 0此时，需要注意的是，这时B的每一个选择或
7、战略都必须给出任何情况下（无论其是否真正可能出现）自己的行动选择。在表3.2中，B有4种选择或战略，每一个战略用一个向量表示，向量中左端第一个行动选择对应于A选“进入”时B的行动选择，第二个行动选择对应于A选“不进入”时B的行动选择。给定A选“进入”，B的最优选择是不进入，进入和不进入，不进入。当B选不进入，进入时，A的最优选择是“进入”，当B选不进入，不进入时，A的最优选择是“进入”；当A选“不进入”时，B的最优选择是进入，进入和不进入，进入；当B选进入，进入时，A的最优选择是“不进入”；当B选不进入，进入时，A的最优选择是“进入”。所以，有三个纳什均衡：进入，（不进入，进入），进入，（不进
8、入，不进入）和不进入，（进入，进入），均衡的结果为：A进入，B不进入和A不进入，B进入。“均衡结果”指A和B的均衡战略组合下的预测的A和B的行动组合，“均衡”指均衡战略的组合，两者是不同的概念。显然，在这里，多个不同均衡可以带来相同的均衡结果。细心的读者会发现：表3.2中用战略式表述的纳什均衡比图3.1中用扩展式表述的均衡多出一个，即不进入，（进入，进入），其均衡结果为A不进入，B进入。这个均衡实际上是不可信的，因为B威胁无论A是否进入他都要进入，若A相信B的威胁，给定B无论如何要进入，A的最优选择当然就是不进入。但是，A怎么能相信B的威胁呢？因为，只要A选择了“进入”，B的最优选择就是“不进
9、入”而不是“进入”。所以，在我们对局中人的理性行为假定下（而这正是博弈论的假定前提），应该预测A会选“进入”而B选“不进入”。所以，这个多出来的均衡应去掉。显然，当用战略式表述表达动态博弈时，可能将一些不可信的均衡包括进来，所以在动态博弈分析中常用的表述方式是扩展式而不是战略式表述。在这里，不可信的均衡中含有B对A的不可置信的威胁，应该从预测的均衡中去掉。我们将在第五章中对这个问题展开详细的讨论，并给出在较为一般的情况下去除这类甚至包括其他不可信均衡的方法，而剩下的均衡被称为“子博弈精炼纳什均衡”（subgame Perfect Nash equilibrium）。类似地，也可用扩展式表述去表
10、达静态博弈，两种表述方式是等价的。我们在本章将专注于介绍局中人同时作出决策或者局中人在进行决策时不能观察到其他局中人的决策且不存在信息不对称的博弈模型，这类模型表示的博弈被称为“完全信息静态博弈”（perfect information static game）。3.1 博弈模型的战略式表述战略式表述的博弈模型需要在以下几个要素内容方面作出明确的确定，即局中人（player）也称为参与人，指参与博弈的成员，可以是作为自然人的个人，也可以是企业、团体、组织机构、国家甚至国际联盟组织等。博弈论假定局中人是追求效用最大化的理性人。当局中人是企业、团体、组织机构甚至国家时，假定构成这类组织的自然人也是
11、追求效用最大化的理性人。在具体的分析中，可以用利润最大化或其他目标函数来代替效用最大化，但这些不同的目标函数之间并不存在矛盾，它们都应被理解以效用最大化为一致性基础的相互可替代的表达方式。记为一个博弈中局中人的个数（），为所有局中人构成的集合，为一个特定的局中人（），；一个特别的局中人可能是“自然”，它是我们上述规定的例外，因为它既不是自然人也不是由自然人构成的组织，同时也不是追求效用最大化的行为主体，它往往表示一种博弈面临的环境或外生条件。战略空间（strategy space）每一个局中人可以选择的战略所构成的集合。一个战略（strategy）是指局中人选择行动的规则，而行动是指局中人的决
12、策变量。一个战略告诉局中人在什么时候选择什么行动。譬如，毛泽东在制订中国与其他国家之间的军事战略时就通过十六个字简明扼要地概括出其主要思想：“人不犯我，我不犯人，人若犯我，我必犯人”。在这个战略中，“犯”与“不犯”是两种不同的行动，该战略规定了什么时候选择“犯”，什么时候选择“不犯”。记第个局中人的战略空间为；记中的一个元素为，；信息指局中人在博弈中拥有的相关知识，特别是有关其他局中人的特征和行动的知识。支付函数指局中人从博弈中获得的效用水平或利润水平或其他形式的目标函数。根据我们在前面给出的说明，无论是什么样形式的支付函数，它们一般都是以效用函数作为其基础的。结果这是一个内容较为广泛的概念，
13、通常指研究者对博弈结束时所带来的各种感兴趣的效应或要素的集合，记第个局中人的支付函数为，局中人的支付不仅是该局中人自己所选战略的函数，而且还是所有其他局中人选择的战略的函数，这正是博弈论所强调的互动效应的数学描述。均衡所有局中人都选择的最优战略或行动的组合。在博弈论中，有不同的均衡概念，但基础性的均衡概念指的是“纳什均衡”。我们一般将局中人、行动、结果统称为博弈规则，一个具体的博弈规则将决定相应的博弈均衡（但均衡不一定是唯一的）。我们将一个博弈记为，称这种表述方法为一个博弈的“战略式表述”（strategic form representation）。我们在研究中经常会遇到一类较为简单的博弈，
14、称为有限博弈，其定义如下：定义3.1 当局中人的个数为有限数且每个局中人的战略空间中的元素只有限个时，称博弈为有限博弈（finite game）。显然，我们在第二章中给出的“囚徒困境”博弈，“市场进入”博弈等都是有限博弈。3.2 纳什均衡在博弈论发展史上，均衡的概念有着一段发展演化的经历。从早期的占优战略均衡、重复剔除劣战略的占优战略均衡，直到后来的纳什均衡，博弈论的基本框架才告完成。继纳什之后，一些更为精致的均衡概念也被陆续提出，而且，这方面的研究还在不断深入。但是，纳什均衡概念无疑在博弈论发展史上占据有里程碑式的地位，它的提出标志着博弈论进入了一个有着完整方法论体系的新兴学科的迅猛发展时期
15、。在介绍纳什均衡概念以前，我们先来回顾一下有关占优战略均衡和重复剔除劣战略的占优战略均衡的相关概念和理论。3.2.1 占优战略均衡所谓占优战略均衡，是指当所有局中人都选择各自的占优战略时所出现的战略组合。为了表达上的简略，我们今后可将除第个局中人所选择战略之外的其他所有局中人所选择的战略组合向量记为，又记。定义3.2 设，若满足 （3.1）其中表示构成的欧几里德乘积空间。则称为的劣战略，称为的占优战略。当不等式（3.1）对某些变成等式时，称为的弱劣战略，称为的弱占优战略。当不等式（3.1）对任何都是严格不等式时，即不等式（3.2）成立。 （3.2）则称为的严格或强劣战略，称为的严格或弱占优战略。显然，为的占优战略就是在无论其他局中人选择什么战略情形下，局中人选都是相对于他选为最优的战略。譬如，在前述给出的“囚徒困境”模型中，对于任一犯罪嫌疑人，无论另一犯罪嫌疑人是选择“坦白”或是选择“抵赖”，他选择“坦白”都是相对于选“抵赖”为最优
