微积分发展简史

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1、微积分发展简史 一.微积分思想萌芽 微积分的思想萌芽，部分可以追溯到古代。在古代希腊、中国和印度数学家的著作中，已不乏用朴素的极限思想,即无穷小过程计算特别形状的面积、体积和曲线长的例子。在中国,公元前5世纪，战国时期名家的代表作庄子？天下篇中记载了惠施的一段话:一尺之棰,日取其半，万世不竭，是国内较早浮现的极限思想。但把极限思想运用于实践，即运用极限思想解决实际问题的典范却是魏晋时期的数学家刘徽。她的割圆术开创了圆周率研究的新纪元。刘徽一方面考虑圆内接正六边形面积 ，接着是正十二边形面积 ，然后依次加倍边数，则正多边形面积愈来愈接近圆面积。用她的话说,就是：割之弥细,所失弥少。割之又割,以至

2、于不可割,则与圆合体,而无所失矣。按照这种思想,她从圆的内接正六边形面积始终算到内接正2边形面积，得到圆周率 的近似值.1。大概两个世纪之后,南北朝时期的出名科学家祖冲之(公元49-5)祖 恒父子推动和发展了刘徽的数学思想,一方面算出了圆周率介于3.59与3.141592之间，这是国内古代最伟大的成就之一。另一方面明确提出了下面的原理:幂势既同,则积不容异。我们称之为祖氏原理，即西方所谓的卡瓦列利原理。并应用该原理成功地解决了刘徽未能解决的球体积问题。欧洲古希腊时期也有极限思想，并用极限措施解决了许多实际问题。较为重要的当数安提芬(Antipho，.C左右）的穷竭法。她在研究化圆为方问题时,提

3、出用圆内接正多边形的面积穷竭圆面积,从而求出圆面积。但她的措施并没有被数学家们所接受。后来,安提芬的穷竭法在欧多克斯(Eudoxu,B.C49-B.C356)那里得到补充和完善。之后,阿基米德(Archimdes,B.C87-B.C212)借助于穷竭法解决了一系列几何图形的面积、体积计算问题。她的措施一般被称为平衡法，实质上是一种原始的积分法。她将需规定积的量提成许多微小单元,再运用另一组容易计算总和的微小单元来进行比较。但她的两组微小单元的比较是借助于力学上的杠杆平衡原理来实现的。平衡法体现了近代积分法的基本思想，是定积分概念的雏形。 与积分学相比，微分学研究的例子相对少多了。刺激微分学发展

4、的重要科学问题是求曲线的切线、求瞬时变化率以及求函数的极大值极小值等问题。阿基米德、阿波罗尼奥斯(Aol， c.BC26-c.B190)等均曾作过尝试，但她们都是基于静态的观点。古代与中世纪的中国学者在天文历法研究中也曾波及到天体运动的不均匀性及有关的极大、极小值问题,但多以常用的数值手段（即有限差分计算）来解决,从而回避了持续变化率。 二.十七世纪微积分的酝酿 微积分思想真正的迅速发展与成熟是在16世纪后来。14至的欧洲文艺复兴,使得整个欧洲全面觉醒。一方面,社会生产力迅速提高，科学和技术得到迅猛发展;另一方面，社会需求的急需增长，也为科学研究提出了大量的问题。这一时期,对运动与变化的研究已

5、变成自然科学的中心问题，以常量为重要研究对象的古典数学已不能满足规定,科学家们开始由对以常量为重要研究对象的研究转移到以变量为重要研究对象的研究上来，自然科学开始迈入综合与突破的阶段。 微积分的创立,一方面是为理解决十七世纪的一系列重要的科学问题。有四种重要类型的科学问题：第一类是,已知物体的移动的距离表为时间的函数的公式,求物体在任意时刻的速度和加速度使瞬时变化率问题的研究成为当务之急;第二类是，望远镜的光程设计使得求曲线的切线问题变得不可回避；第三类是，拟定炮弹的最大射程以及求行星离开太阳的最远和近来距离等波及的函数极大值、极小值问题也急待解决;第四类问题是求行星沿轨道运动的路程、行星矢径

6、扫过的面积以及物体重心与引力等,又使面积、体积、曲线长、重心和引力等微积分基本问题的计算被重新研究。在17世纪上半叶，几乎所有的科学大师都致力于谋求解决这些问题的数学工具。这里我们只简朴简介在微积分酝酿阶段最具代表性的几位科学大师的工作。 开普勒(J.Kepler,17-130）与无限小元法。德国天文学家、数学家开普勒在1刊登的测量酒桶的新立体几何中，论述了其运用无限小元求旋转体体积的积分法。她的无限小元法的要旨是用无数个同维无限小元素之和来拟定曲边形的面积和旋转体的体积,如她觉得球的体积是无数个顶点在球心底面在球上的小圆锥的体积的和。 卡瓦列里(B.Caalier,198-1647)与不可分

7、量法。意大利数学家卡瓦列里在其著作用新措施推动的持续的不可分量的几何学(15)中系统地发展了不可分量法。她觉得点运动形成线,线运动形成面,体则是由无穷多种平行平面构成,并分别把这些元素叫做线、面和体的不可分量。她建立了一条有关这些不可分量的一般原理（后称卡瓦列里原理,既是国内的祖 原理)：如果在等高处的横截面有相似的面积，两个有同高的立体有相似的体积。运用这个原理她建立了等价于下列积分： 的基本成果，并解决了开普勒的旋转体体积的问题。 巴罗(.Baro,63-677)与微分三角形。巴罗是英国的数学家，在19年出版的著作几何讲义中,她运用微分三角形(也称特性三角形）求出了曲线的斜率。她的措施的实

8、质是把切线看作割线的极限位置,并运用忽视高阶无限小来取极限。巴罗是牛顿的教师,英国剑桥大学的第一任卢卡斯数学专家,也是英国皇家学会的首批会员。当她发现和结识到牛顿的杰出才干时，便于69年辞去卢卡斯专家的职位，举荐自己的学生-当时才岁的牛顿来担任。巴罗让贤已成为科学史上的佳话。 笛卡儿(R. Descats,196-650)、费马（P. e Frmt，1601-665)和坐标措施。笛卡儿和费马是将坐标措施引进微分学问题研究的前锋。笛卡儿在几何学中提出的求切线的圆法以及费马手稿中给出的求极大值与极小值的措施,实质上都是代数的措施。代数措施对推动微积分的初期发展起了很大的作用，牛顿就是以笛卡儿的圆法

9、为起点而踏上微积分的研究道路。 沃利斯(J. Wali,61-70)的无穷算术。沃利斯是在牛顿和莱布尼茨之前,将分析措施引入微积分奉献最突出的数学家。在其著作无穷算术中，她运用算术不可分量措施获得了一系列重要成果。其中就有将卡瓦列里的幂函数积分公式推广到分数幂情形,以及计算四分之一圆的面积等。 17世纪上半叶一系列先驱性的工作,沿着不同的方向向微积分的大门逼近,但所有这些努力还局限性以标志微积分作为一门独立科学的诞生。前驱者对于求解各类微积分问题的确做出了珍贵的奉献,但她们的措施仍缺少足够的一般性。虽然有人注意到这些问题之间的某些联系,但没有人将这些联系作为一般规律明确提出来,作为微积分基本特

10、性的积分和微分的互逆关系也没有引起足够的注重。因此,在更高的高度将以往个别的奉献和分散的努力综合为统一的理论，成为17世纪中叶数学家面临的艰巨任务。 三. 微积分的创立牛顿和莱布尼茨的工作 1.牛顿的流数术 牛顿(.Newto,14-127)16年生于英格兰伍尔索普村的一种农民家庭，少年时成绩并不突出，但却热爱读书。17岁时,牛顿被她的妈妈从中学召回务农，后来，牛顿的妈妈在牛顿就读的格兰瑟姆中学校长史托克斯和牛顿的舅父埃斯库的竭力劝告下,又容许牛顿重返学校。史托克斯的劝告词中的一句话：在繁杂的农务中埋没这样一位天才，对世界来说将是多么巨大的损失,可以说是科学史上最幸运的预言。1661年牛顿进入

11、剑桥大学三一学院，受教于巴罗。对牛顿的数学思想影响最深的要数笛卡儿的几何学和沃利斯的无穷算术,正是这两部著作引导牛顿走上了创立微积分之路。 165年,牛顿刚结束她的大学课程，学校就由于流行瘟疫而关闭，牛顿离校返乡。在家乡规避瘟疫的两年，成为牛顿科学生涯中的黄金岁月，微积分的创立、万有引力以及颜色理论的发现等都是牛顿在这两年完毕的。 牛顿于1664年秋开始研究微积分问题,在家乡规避瘟疫期间获得了突破性进展。166年牛顿将其前两年的研究成果整顿成一篇总结性论文流数简论,这也是历史上第一篇系统的微积分文献。在简论中，牛顿以运动学为背景提出了微积分的基本问题,发明了正流数术(微分）;从拟定面积的变化率

12、入手通过反微分计算面积,又建立了反流数术；并将面积计算与求切线问题的互逆关系作为一般规律明确地揭示出来,将其作为微积分普遍算法的基本论述了微积分基本定理。微积分基本定理也称为牛顿-莱布尼茨定理,牛顿和莱布尼茨各自独立地发现了这一定理。该定理用我们现代的语言论述就是: 设函数在区间 持续，对内任何 ,令 ， 则 。如果 是的一种原函数，则 。 微积分基本定理是微积分中最重要的定理，它建立了微分和积分之间的联系,指出微分和积分互为逆运算。 这样,牛顿就以正、反流数术亦即微分和积分,将自古以来求解无穷小问题的多种措施和特殊技巧有机地统一起来。正是在这种意义下，我们说牛顿创立了微积分。 流数简论标志着

13、微积分的诞生，但它有许多不成熟的地方。16年，牛顿回到剑桥,并未刊登她的流数简论。在后来2余年的时间里，牛顿始终不渝地努力改善、完善自己的微积分学说,先后完毕三篇微积分论文:运用无穷多项方程的分析学(简称分析学,16)；流数法与无穷级数(简称流数法，1671)；曲线求积术(161），它们反映了牛顿微积分学说的发展过程。在分析学中，牛顿回避了流数简论中的运动学背景,将变量的无穷小增量叫做该变量的瞬，记作 ,当作是静止的无限小量,有时直接令其为零，带有浓厚的不可分量色彩。在论文流数法中,牛顿又恢复了运动学观点。她把变量叫做流，变量的变化率叫做流数,变量的瞬是随时间的瞬而持续变化的。在流数法中,牛顿

14、更清晰地表述了微积分的基本问题：已知两个流之间的关系，求她们的流数之间的关系；以及反过来已知表达量的流数间的关系的方程，求流之间的关系。在流数法和分析学中,牛顿所使用的措施并无本质的区别,都是以无限小量作为微积分算法的论证基本,所不同的是：流数法以动力学持续变化的观点替代了分析学的静力学不可分量法。 牛顿最成熟的微积分著述曲线求积术,对于微积分的基本在观念上发生了新的变革，它提出了首末比措施。牛顿批评自己过去随意扔掉无限小瞬 的做法，她说在数学中，最微小的误差也不能忽视.。在这里，我觉得数学的量并不是由非常小的部分构成的,而是用持续的运动来描述的。在此基本上牛顿定义了流数概念,继而觉得：流数之

15、比非常接近于尽量小的等时间间隔内产生的流量的增量比,确切地说，它们构成增量的最初比,并借助于几何解释把流数理解为增量消逝时获得的最后比。可以看出，牛顿的所谓首末比措施相称于求函数自变量与因变量变化之比的极限,它成为极限措施的先导。 牛顿对于刊登自己的科学著作持非常谨慎的态度。168年，牛顿出版了她的力学巨著自然哲学的数学原理，这部著作中涉及她的微积分学说,也是牛顿微积分学说的最早的公开表述，因此该巨著成为数学史上划时代的著作。而她的微积分论文直到1世纪初才在朋友的再三催促下相继刊登。 2莱布尼茨的微积分工作 莱布尼茨（W.Libni,1646-716)出生于德国莱比锡一种专家家庭，青少年时期受到良好的教育。162年至167年,莱布尼茨作为梅因茨选帝侯的大使在巴黎工作。这四年成为莱布尼茨科学生涯的最珍贵时间,微积分的创立等许多重大的成就都是在这一时期完毕或奠定了基本。然而,这位博学多才的时代巨人,由于官场的失意、与牛顿有关微积分优先权争论的困绕以及多种病痛的折磨,晚年生活颇为凄凉。据说莱布尼茨的葬礼只有她忠实的秘书参与。