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1、 直线与方程知识点一 、直线的倾斜角与斜率（1）直线的倾斜角 关于倾斜角的概念要抓住三点：.与x轴相交; .x轴正向; .直线向上方向. 直线与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为. 倾斜角的范围. ； （2）直线的斜率直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，而倾斜角为的直线斜率不存在。经过两点（）的直线的斜率公式是（）每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率。（3）直线的倾斜角与斜率关系 (4)、利用斜率证明三点共线的方法：已知若，则有A、B、C三点共线。注：斜率变化分成两段，是分界线，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论。Eg:比较图1的斜率大小练习1 如果A(3, 1)、B(2, k)、C(8,
2、11), 在同一直线上，那么k的值是（ ）。A. 6 B. 7 C. 8 D. 92. 如图1，直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则必有() A. k1k3k2 B. k3k1k2C. k1k2k3 D. k3k2k13已知两点M(2，-3)，N(-3，-2)，直线l过点P(1,1)且与线段MN相交，则直线l的斜率k的取值范围为 (A) A B -4 C D -二 、两条直线平行与垂直的判定直线如果是点斜式（1）两条直线平行对于两条不重合的直线，其斜率分别为，则有。特别地，当直线的斜率都不存在时，的关系为平行。（2）两条直线垂直如果两条直线斜率存在，设为，则注：两条直线垂直的充
3、要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。如果中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，互相垂直。（3）对于一般式直线平行与垂直问题 已知 , ，则：（1） （2） （3）（4）与相交（4）如果时，则：(1)(2)；(3)与重合(4)与相交三 、直线的方程（1）直线方程的几种形式名称方程的形式已知条件局限性点斜式为直线上一定点，为斜率不包括垂直于x轴的直线斜截式为斜率，是直线在y轴上的截距不包括垂直于x轴的直线两点式是直线上两定点不包括垂直于x轴和y轴的直线截距式是直线在x轴上的非零截距，是直线在y轴上
4、的非零截距不包括垂直于x轴和y轴或过原点的直线一般式，为系数无限制，可表示任何位置的直线注：过两点的直线是否一定可用两点式方程表示？（不一定。（1）若，直线垂直于x轴，方程为；（1） 若，直线垂直于y轴，方程为；（2） （3）若，直线方程可用两点式表示）（2)、线段的中点坐标公式若两点，且线段的中点的坐标为，则 (3). 过定点的直线系斜率为且过定点的直线系方程为；过两条直线, 的交点的直线系方程为（为参数），其中直线l2不在直线系中.eg、求过点P(5,4)且与坐标轴围成的三角形面积为5的直线方程解 设所求直线方程为 直线过点P(5,4) 即又由已知可得, 即联立方程解方程组得解得,或故所求
5、直线方程为或即,8x5y+20=0或2x5y10=0四、与两坐标轴截距相等或相反问题（注意过原点的直线）eg. 经过点(2,3) , 在x轴、y轴上截距相等的直线方程是 五 会画出y=|x| |x|+|y|=k 的图像eg若yax的图象与直线yxa（a0）有两个不同交点，则a的取值范围是（）A0a1Ba1 Ca0且a1Da1六、直线的交点坐标与距离公式（1）.两条直线的交点设两条直线的方程是, 两条直线的交点坐标就是方程组的解，若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立。（2）.几种距离（1）两点间的距离平面上的两点
6、间的距离公式特别地，原点与任一点的距离（2）点到直线的距离点到直线的距离 点到几种特殊直线的距离（1）点到x轴的距离。（2）点到y轴的距离.（3）点到与x轴平行的直线y=a的距离。（4）点到与y轴平行的直线x=b的距离.（3）两条平行线间的距离 两条平行线, 间的距离 （注意： 求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式； 求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能套用公式计算。）（1）点（2，1）到直线3x -4y + 2 = 0的距离是（A） （B） （C） （D）（2）两平行线3x2y10，6xayc0之间的距离为，则的值是( A )A .1 B. 1 C. -
7、1 D . 2七 . 有关对称问题（1）中心对称若点及关于对称，则由中点坐标公式得直线关于点的对称，其主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用，由点斜式得到所求直线方程。eg. 点（，m）关于点（n, 3）的对称点为（，），则（）m，nm，n m，nm，n（2）曲线关于点对称曲线C: f(x ,y)=0关于点(a ,b)的对称曲线方程是f(a x, 2b y)=0. Eg： （1）求（2，3）关于x轴，y轴，原点的对称点。 （3）求y=x2 分别关于（2，3），y=x+2的对称曲线（3）轴对称点关于直线
8、的对称若两点与关于直线对称，则线段的中点在对称轴上，而且连接的直线垂直于对称轴上，由方程组可得到点关于对称的点的坐标（其中）Eg： （2，3）分别关于y=2x+3对称点（2）点关于直线对称技巧（3）技巧 当直线为（即斜率为1. ），（a，b）关于对称，把x代入得到y，把y代入得到xEg 求，关于y=x+2 y=-x+2 的对称点直线关于直线的对称此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行。注：曲线、直线关于一直线对称的解法：换，换. 例：曲线关于直线对称曲线方程是 直线关于点对称，曲线关于点对称曲线关于点的对称曲线方程是1直线x2y
9、10关于直线x1对称的直线方程是（）Ax2y10 B2xy10C2xy30 Dx2y30八 、直线过定点问题： 含有一个未知参数， （1）令， 将，从而该直线过定点 含有两个未知参数 令 从而该直线必过定点练习 (1)直线mx-y+2m+1=0经过一定点，则该点的坐标是_ _ (2)直线当变动时，所有直线都通过定点（ ）（A）（0，0） （B）（0，1）（C）（3，1） （D）（2，1）九、 与已知直线平行垂直的直线系有：（1）平行于直线（2）平行于直线（3）垂直于直线的所有直线可表示为十、 直线y=kx+b 不经过某象限 y=kx+b 不经过第一象限 k0， b0。 y=kx+b 不经过第二
10、象限 k0， b0 y=kx+b 不经过第三象限 k _0， b 0 y=kx+b 不经过第四象限 k _0， b _0十一. 两条直线的交角直线到的角（方向角）；直线到的角，是指直线绕交点依逆时针方向旋转到与重合时所转动的角，它的范围是，当时.两条相交直线与的夹角：两条相交直线与的夹角，是指由与相交所成的四个角中最小的正角，又称为和所成的角，它的取值范围是，当，则有.十二、直线上一动点P到两个定点A、B的距离“最值问题”：(1) 在直线上求一点P，使取得最小值， 若点位于直线的同侧时，作点（或点）关于的对称点或, 若点位于直线的异侧时，连接交于点，则为所求点。可简记为“同侧对称异侧连”.即两
11、点位于直线的同侧时，作其中一个点的对称点；两点位于直线的异侧时，直接连接两点即可.（2） 在直线上求一点使取得最大值，方法与（1）恰好相反，即“异侧对称同侧连” 若点位于直线的同侧时，连接交于点，则为所求点。 若点位于直线的异侧时，作点（或点）关于的对称点或, 十三 有关几何意义Eg 1：求函数的值域。2已知，则S的最小值是 _ 3 已知A(1,2)B(-2,2)在x轴上找一点C使的|CA|+|CB|最小，|CA|-|CB|最大值 如果AB在X轴不同侧呢？ 4点在直线上，则的最小值是_.十四、易错辨析： 讨论斜率的存在性： 解题过程中用到斜率，一定要分类讨论：斜率不存在时，是否满足题意； 斜率存在时，斜率会有怎样关系。 注意“截距”可正可负，不能“错认为”截距就是距离，会丢解； （求解直线与坐标轴围成面积时，较为常见。） 直线到两定点距离相等，有两种情况： 直线与两定点所在直线平行； 直线过两定点的中点。
