《华罗庚学校数学教材(六年级上)第13讲棋盘中的数学(四)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《华罗庚学校数学教材(六年级上)第13讲棋盘中的数学(四)（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、本系列共 14 讲第十三讲 棋盘中的数学（四）棋盘格的计数问题. 文档贡献者：winner_d1975与棋盘有关的另一大类数学问题是计数问题我们只能就一些简单的例题进行解说，并随之介绍解题的思想方法例 1 如下左图，在中国象棋盘上，乙方一只边卒已经过河，它 可以向前移一步到 B，也可以横行一步到 A，要使这个小卒沿最短路 线走到对方帅所在的位置（假定前进路上没任何阻难），问有多少种 不同的走法？解：为了解这个问题，可以从简单的情形开始，逐步进行上右 图中，小卒沿最短路线走到 A、B、C、D、E、F、G、H 的走法都只有 一种，走到 K，则有两种：先走到 A 再走到 K，或者先走到 B，再走 到
2、 K走到 M，则有 123 种：先走到 C 再到 M 有一种，先走到 K 再到 M 有 2 种（因为走到 K 有 2 种走法）把走法的种数标在各点上， 每个数等于它前面的两个数（下图中左方一个，下方一个）的和走到帅的位置有 70 种不走法说明：利用标数法可以很快求出从一个点到棋盘上另一点最短的 不同路线数，这是一种很直观有用的计数方法例 2 围棋盘上横竖各有 19 条线（如下图），在棋盘上组成许多 大小不同的正方形，问其中有多少个和图中右侧小正方形大小一样的正方形（小正方形面积是这个围棋盘的 1 ）？4解法 1：我们把小正方形放在大正方形的左上角，则小正方形的 右边线与大正方形的第 10 条竖
3、线重合将小正方形向右平行移动一 格（如下图）则又可出现一个小正方形，顺次向右移动 9 次后，小正 方形的右边线与大正方形的右边线重合这样前后共得到 10 个小正 方形同样，将左上角小正方形再每次向下移动一格，也可得到 10 个小正方形所以共有 1010100 个小正方形解法 2：将大正方形左上角的小正方形沿大正方形的对角线 AC移动，第 1 次移动（如下图）可视为是右移一格和下移一格的合成， 也可视为是下移一格和右移一格的合成再加上初始位置的小正方 形，这时就有 13 个小正方形继续将小正方形沿对角线移动，共 移动 9 次，小正方形就移动到大正方形的右下角这时共包含小正方 形（13519）个，
4、我们可按小高斯计算 123100 的方法求出 13519= (19 + 1) 10 =100 个。2解法 3：我们先在下右图小正方形中找一个代表点，例如右下角 的代表点 E，然后将小正方形按题意放在围棋盘上，仔细观察点 E 应 在什么地方，通过观察，不难发现：点 E 只能在棋盘右下角的正方形 ABCD（包括边界）的格子点上。子点个数”了，很容易看出正方形 ABCD 中的格子点为 1010100 个说明：以上三种解法都有一定代表性其中解法 3 既巧妙又迅速 ， 它利用了“一一对应就一样多”的配对原理配对原理在计数中是非 常重要的。例 3 从 88 的方格棋盘（下图）中取出一个由三个小方格组 成的
5、“”形（可旋转），问有多少种不同的取法？分析 如果从 22 的方格中取“L”形，则有 4 种不同的取法， 因此，我们只要知道从 88 的方格棋盘上总共可以取出多少个“田” 字形就可以了，又由于每个“田”字形的中心点是棋盘内横线与竖线 的交叉点（但不包括边界上的点），反过来每一个这样的交叉点都有 一个以它为中心的“田”字形，于是问题就转化为求横线与竖线一共 有多少个不在边界上的交叉点解：设 S 是从棋盘上所能取出的所有“田”字形组成的集合，S是棋盘内所有横线和竖线的交叉点（不包括边界上的点）组成的集 合由于每个“田”字形的中心点是棋盘内横线与竖线的一个交叉点 且不在边界上，反过来，位于棋盘内横线
6、与竖线交叉点四周的四个小 方格恰好组成一个“田”字形，因此集合 S 与 S的元素能一一配对 由 配对原理，这两个集合的元素一样多而棋盘内横线与竖线的交叉点有：（92）（92）49（ 个 ） 所以棋盘上可以取出“田”字形的个数为 49 个又由于从一个“田”字形中可以取出 4 个“”形，并且，从不同的“田”字形 中取出的“”形是不同的，所以可知，从棋盘上共可以取出 494196 个“”形，即题中“”形的不同取法共 196 种反过来，右下角正方形 ABCD 中的每一个格子点都可以作为小正方形的点 E，也只能作为一个小正方形的点 E 这样一来，就将“小正方形的个数”化为“正方形 ABCD 中的格 例
7、4 如下图在 55 棋盘格中，共有多少个正方形？解：在 55 的棋盘格中：包含 11 的正方形共 25 个；包含 22 的正方形共 16 个； 包含 33 的正方形共 9 个； 包含 44 的正方形共 4 个； 包含 55 的正方形共 1 个； 总计包含各种正方形共有：251694155 个 说明：本题解法是先将正方形分成五类：11，22，33，44，55，对每一类都仿例 3 中第 3 种解法去解是非常迅速的例 5 下图中的正方形被分成 9 个相同的小正方形，它们一共有 16 个顶点（共同的顶点算一个），以其中不在一条直线上的三个点为顶 点，可以构成三角形，在这些三角形中，与阴影三角形有同样大
8、小面 积的有多少个？分析 解决这个问题，主要是运用两个结论：同底等高的两个三角形的面积相等平行的两条直线间的距离处处相等 解：设原正方形的边长是 3，则小正方形的边长是 1，阴影三角形的面积是：1 23=32所求的三角形可分两种情形：三角形的一边长为 2，这边上的高是 3这时，长为 2 的边只能在原正方形的边上这样的三角形有：24432（ 个 ）三角形的一边长为 3，这边上的高是 2这时，长为 3 的边是 原正方形的一边或平行于一边的分割线（其中，与重复的三角形不 再算入）这样的三角形有：8216（ 个 ）答：所求的三角形共 48 个（包括上页图中给出的三角形） 说明：解本题，容易出现两种错误
9、，一是“少”，如忽略了底是3，高是 2 的三角形，这样就少算了 16 个；二是“多”：在计算底是 3， 高是 2 的三角形时，没有考虑其中有 16 个在情形中已经计算过了， 于是会得出错误结果 64 个棋盘格计数问题，本质上是一种数数问题其一要注意会把对象 分类其二，在每类数数时要做到不重，不漏这样才能得到正确的 结果。习题十三1下图是一个棋盘，将一个白子和一个黑子放在棋盘线交叉点 上，但不能在同一条棋盘线上，问：共有多少种不同的放法？2下图中的象棋盘上一只小卒过河后沿最短的路走到对方“帅” 处，试问这小卒有多少种不同的走法？3下图表示某城市的街道图，若从 A 走到 B（只能由北往南， 由西向东），问共有多少种不同的走法？4下图是一个道路图，A 处有一大群孩子，这群孩子向东或向 北走，在从 A 开始的每个路口，都有一半人向北走，另一半人向东走 ， 如果最后有 60 个孩子到过路口 B，问：先后共有多少孩子到过路口 C？5如下图，在 55 的棋盘上放了二十枚棋子，问：以这些棋子 为顶点的正方形共有多少个？
