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1、第七章弯曲应力第七章弯曲应力7.1 纯弯曲PPaa1 纯弯曲和横力弯曲AB纯弯曲:(+)只有M 而无Q 的平面弯曲.P(-)Q图横力弯曲:既有M 又有Q 的平面弯曲.Pa-P)(+M图2 纯弯曲时的现象(1) 横向直线仍然保持为直线,绕某轴转动,仍然与纵向线垂直.(2) 纵向线弯曲成弧线并有伸缩,只有一层纤维不发生伸缩.MM中性层:纵向纤维不发生伸缩的面.中性轴中性层中性轴:中性层与横截面的交线.3 假设平面假设:纵向纤维间无正应力假设:dyMabbaxdxy7.2纯弯曲时的正应力1 变形几何关系M原长bb =dx =d 变形后aa =(+y)de = (r + y)dq - rdq=yzCy
2、rdqr2 物理关系Mxp=Eys=ErzCyzdAxy3 静力学关系N=s dA= 0MAM y=zs dA= 0AM z=Ays dA=M(1) 确定中性轴的位置zCyzdAxyN =sdAA=EydAEArM= r AydA = 0静 矩 Sz= A ydA = 0结论:中性轴通过形心,与形心轴重合.(2) 确定形心主轴M y=z s dAzCyzdAxyA=z Ey dAEArM=惯性积r AyzdA = 0I yZ= AyzdA= 0结论:y z轴为形心主轴zCy z dAxy(3) 导出弯曲正应力公式M z=A ys aA=y EydAArME=rA ydA=M2惯性矩IZ =y2
3、dAAM= EI z 与sr= Eyr解出:s=MyIz7.3横力弯曲时的正应力横截面上的最大正应力s max=My maxI全梁的最大正应力s maxz= M maxIy maxz(1) 等直梁s max=M maxW令Wz =I zymaxz-抗弯截面模量矩形:W z=bh 26圆形:空心圆:W z=p d 332Wz=pD 332(1 - a 4 )M(2) 变截面梁:综合考虑和yI z(3) 无水平对称轴的梁确定maxy拉最大弯曲拉应力s t max= M max y1y1IzzMyyy2最大弯曲压应力s c max=max2压Iz弯曲强度条件st max= M max y1I stz
4、sc max= M max y2I sczsmax=M maxW s z抗拉压强度不等的材料已知:P =10kN, a =1.2m,=10MPa.h:b =2.求:设计梁的截面尺寸解:1作弯曲图Mmax=Pa =12kNm2选择截面尺寸由强度条件P3PPhDACBEbaaaas max= M maxWz= 6M maxbh2 s Pa 2与h = 2b(-)(+)(-)M 图3 MPaPab3=122mm2 s解出h =2b =244mm选用125250mm2的矩形截面已知:P1 = 8kN,P2=20kN,a=0.6m Iz=5.33x106mm4,t=60MPa ,c=150MPa.求:校
5、核梁的强度.解:1 作弯矩图P1P2yRA=22kNRB=6kNMA=-4.8kNmMD=3.6kNm2 校核强度CA aRADaa3.6y2=40y1=80 BzRBs A1 =M A y1 I Z= 72 MPa s c (-)sD4.8(+)M 图s A2= M A y2IZ= 36MPa s t s A 2s 2s D1= MD y1IZ= 54MPa s t DAs11*非对称梁的弯曲非对称梁:无纵向对称面的梁zcydAz对非对称梁和有纵向对称面但载荷不作用在纵向对称面的梁.讨论两个问题:x1 对非对称梁y、z轴满足什么条件z轴为中性轴.2 弯矩应在什么平面内.y假设:1非对称梁发生
6、纯弯曲变形;2 平面假设和纵向纤维互不挤压假设成立.正应力s= MyI z(a)截面上的内力轴力N =sdAmMzcydAzA对y的弯矩对z的弯矩M y=M z=zsdAAxA ysdA当外力偶m作用于xy平面时,EN=0,My=0, Mz=m=MyN=sdA =EAr AydA = 0(b)M y =zsdA =EAr AyzdA = 0(c)M z =A ysdA =r Ay 2dA= m = M(d )讨论:1 对称截面,条件(c)自然满足.2 非对称截面,总可以找到使Iyz=0的主惯性轴y、z, 使条件(c) 满足.3 若主惯性轴y、z,又是通过截面形心, y、z轴为形心主惯性轴.形心
7、主惯性轴与梁的轴线确定的平面为形心主惯性平面.z轴为中性轴.必然有:S= 0I= 0s=MyzyzI z结论:1 非对称梁,只要外力偶作用在形心主惯性平面内, 梁就会发生平面弯曲,2 非对称梁在纯弯曲时发生平面弯曲的结论可以推广到横力弯曲情况.只要赂去其扭转变形即可.7.4弯曲剪应力一弯曲剪应力公式两点假设:1 Q ;2 沿横截面宽度均布右侧b Q kzhcyMdx+dM +dMN1 =A1 (s+ ds )dA =(MA1+ dM ) y1 dAzII= M + dMA1ZZ(M + dM )S *y1dA =z IZcxyN2y1 y1dAS*式中z= Ay1dA1MyMS *N1dxy左
8、侧N 2 = sdA = 1 dA =z A1顶面dQ = t bdxA1IZIZX = 0,N 1 - N 2- dQ = 0( M+ dM) S *MS *z z -I z z - tI Z bdx= 0cxyt =dMS *N2y1 y1zdxI Z bQS*dAN1dxyt= t =z I Z b二矩形截面的弯曲剪应力S=*zy 1 dAh = 2 by1 dy 1=b ( h-y 2 )2Ay242t =Q (h- y2)2IZ4hby = 2=0t=Qh 2y = 0max8 I Zh/2y ymaxIZ =tbh3代入12=3Q= 3Q= 3 th/21zdy1max2bh2A2
9、my三其它截面的最大剪应力tmax =四型钢查附录Ktm截面系数矩形工字形圆形环形K321432I zS* 代入z z*t=QSI Z b五弯曲剪应力强度条件t max t 已知:P lb h求:1max=?2 max:max =? 解:1作剪力图和弯曲图PACBhl/2l/2bPQ max=2Pl=M max42计算最大剪应力PQ图t max= 3Q=2 A3P2P4bh2(+)(-)3计算最大正应力PlMPl(+)=3 Pl4s max=max =W z4bh 262 bh 2M图4比值t maxs max=3P4bh 2bh 2=h3Pl2ll=5ht maxs max= h =2l h2 5h= 1 10= 10 %已知: 悬臂梁AB(组合梁),b=69mm,h=100mm,l=800mm,P=1kN;螺栓的许用剪应力=100MPa.Pl求: 螺栓的直径. h2h2b解:横截
