伏安法测量实验中的误差分析北京新东方学校中学部物理教研组 夏梦迪伏安法是高中物理电学实验中的一种非常重要的方法和实验思想它以欧姆定律为原理， 以伏特表（直流电压表）和安培表（直流电流表）为工具，向学生们提供了一种在测量电路中 的一些重要电器元件的电学性质时的最为广泛使用、也最为行之有效的方法同时，在高中电 学中以伏安法为核心方法的一系列的测量实验的教学意义和考试价值也非常重大这一组实验 不仅在理论上覆盖了了稳恒电流一章中最核心的两个定律：部分电路的欧姆定律和全电路的欧 姆定律，同时还涵盖了对电流表和电压表的使用的研究和学习、对电路中滑动变阻器的两种连 接方式的讨论等等极其重要的知识及考点但是在考试里被涉及最多、同时也是学生最难以透 彻理解和记忆的知识点，则是在这些实验中，电流表的内外两种接法给实验结果带来的误差 本文便是希望能够通过对这样的一个问题的系统地介绍和分析，最终能够用更加直观和透彻的 方式解释清楚在这些实验中电流表的两种接法所带来的实验误差的规律、特性以及理论原因在高中阶段，伏安法的测量实验主要由三个实验组成：伏安法测电阻实验、绘制小电珠（小 灯泡）的伏安特性曲线实验、以及伏安法测电源的电动势及内阻实验。
其中前两个实验的原理 都是部分电路的欧姆定律（U=I ・R）,而最后一个实验的原理是全电路的欧姆定律（E=U+I ・R） 在只研究本文所关注的“电流表的接法问题对实验结果的影响”这一问题时，前两个实验从实 质上来说是等价的因此为了避免重复叙述，本文将只对“伏安法测电阻”和“伏安法测电源 的电动势及内阻”这两个实验中由电流表的不同接法所产生的误差进行详细的分析与介绍I、 内、外接法的介绍在电学实验中利用伏安法测量电阻阻值和电源电动势和内阻的原理都是欧姆定律其区别 主要在于前者是利用部分电路的欧姆定律，只研究单一的电阻两端的电压和其中的电流之间的 关系，从而得到电阻的阻值与伏安特性曲线；而后者是利用全电路的欧姆定律，来研究整个电 路的路端电压（外电压）和干路电流之间的关系，从而得到电源的电动势及内阻以及一条关于 电源的 UI 图像而正是这样的研究目的和研究对象的区别，给两个实验的电路图、电表所接 位置、以及在实验中对电流表的内外接法的定义带来了一定的差异其中，对在两个实验中电 路内、外接法的辨识成为了这块内容的第一个难点和易错点于是，对“内、外接法”的真实 概念的分析与介绍，即是本文将要首先解决的问题。
首先我们应当明白的是在伏安法测量实验中产生“内、外接”两种不同电路的原因在用 伏安法测量电器元件的电学特性时，我们的核心思想都是希望能够直接研究该元件两端的电压 和其中的电流的关系，实现方式都是通过直接对和用电器并联的电压表及和用电器串联的电流 表的读数进行记录并加以分析在这个时候，并联电表和串联电表之间将会出现一个联入电路 的先后顺序问题是先将电流表和待测元件串联之后再与电压表并联（图一），还是先将电压 表与之并联之后再与电流表串联（图二），最后产生的电路结构是完全不同的因此我们发现， 电路的不同接法的产生原因，实质上来自于两个电表接入电路的顺序所造成的电路结构的异同関丨 阁2那么在了解了不同接法产生的原因后，其次我们应当弄清的是如何去界定何者为内、何者 为外一般来说，“内、外接法”是以电流表在电路中的相对位置作为判断标准来界定的当 电流表处在我们所研究的部分电路内部，测得的是真实的流经待测元件的电流大小时，我们即 认为该电路采用的是内接法；反之则为外接在描述了伏安法测电阻实验电路的图一图二中我 们可以明显地看到，图一中的电流表处在由电阻和电压表所构成的部分电路内部，直接和待测 电阻串联，其读数直接反映出了待测电阻中电流的真实值，因此为“内接法”；而图二中的电 流表明显处于该部分电路的外部，并未和待测电阻直接串联，因而其测量值也并不能反映流经 待测电阻的电流的真实大小，所以为“外接法”。
图4在伏安法测电阻的实验中，“内、外接法”还是比较容易区分的，在教学过程中学生犯错 的可能性也并不大可是到了伏安法测电源的电动势及内阻的实验中，这个最基本的判断也往 往成为会被学生们混淆的易错点如图三、图四所示的两个电路图，则是在伏安法测电源电动 势和内阻的实验中的两种不同接法所对应的图示在辨析内外接法的过程中，学生常做的一种 错误思考即是将直接将之与图一图二类比，认为图三和图一结构相似，因此采用的是内接法； 而图四与图二表象一致，因此采用的是外接法这样的错误是由于对“内、外接法”定义认识 不够到位所产生的在前文中已经说明，“内、外接”中的内和外，是以电流表在电路中的相 对位置作为标准来判定的另外，电流表是否直接与待测元件相串联，其读数是否直接真实的 反映了该元件内部所通过的电流值也是“内、外接”的判断标准无论以哪种方式来判定，我 们发现其核心的元素都只有电流表和待测元件这两者在伏安法测电阻的实验中待测元件是电 阻，而在伏安法测电源的电动势及内阻的实验中，待测元件却转变为了电源因此在这个实验 中电流表的“内外”，便是应当以电源作为参照来界定了在有了这一理解之后，我们不难发 现，真正的内接法的图示应当是图四，而图三对应的则是这个实验中的外接法的电路图。
对这两个实验、四个电路图的分析给我们提供了三个不同的用来区分内、外接法的角度和 方法首先从电路结构上来分析，内外接法的界定标准是：电流表在电路中相对于待测元件 和电压表所构成的部分电路的位置在部分电路内部即为内接，在部分电路的外部即为外接 这是“内、外接”的原初定义，也是我们最常用的判断方式；其次，从电路联接顺序、即两种 不同接法产生的原因上来看，对于待测元件、电流表、电压表三者而言， 内接法意味着先串 联再并联，外接法则意味着先并联再串联；最后从产生的实际效果来看，采用内接法时，由 于电流表永远直接和待测元件串联，因此其中的示数永远和待测元件中流经的电流的真实值 相同；而采用外接法时，电流表示数和元件内部电流值之间必然会存在着一定的误差在透 彻地理解和掌握了这三种判断方式后，相信在两个不同实验中对内外两种接法的判断不会再成 其为困扰学生的难点在扫清了这个障碍之后，接下来我们将对这两个实验中由电表内阻和电路的不同接法产生 的系统误差进行分析和阐述II 实验一 伏安法测电阻m I m 2结合图1和图2我们可以来具体地研究在伏安法测电阻实验中内外两种接法所带来的影响 和误差1、内接法图1为在此实验中电流表内接法对应的电路。
我们需要测量的是通过待测电阻的电流lx 和待测电阻两端的电压Ux由前文分析得知，在内接法中，电流表测出的电流值I等于电阻 中电流的真实值lx,而电压表测出的电压U却是电阻两端电压U和电流表两端电压U之和xA 由此可以看出，在采用内接法进行本实验的过程中，由于电流表的内阻不为零，使电压的测量 产生了误差具体数据分析如下：c U U + U 一 厂 U测量值R = = x A，实际值R = —^x I I Ixx因而在内接法时测量值较真实值偏大，同时可计算出相对误差：R - R U RW = —x = A = —A （ 1）内 R U RX2、外接法图 2 为在此实验中电流表外接法对应的电路我们需要测量的同样是通过待测电阻的电流Ix和待测电阻两端的电压Ux由前文分析得知，在外接法中，电流表测出的电流值I不再等 于电阻中电流的真实值Ix,而等于电阻中电流I与电压表中所流过的电流I之和；而此时电 xU压表测出的电压 U 却等于电阻两端电压 U 由此可以看出，在采用外接法进行本实验的过程x中，是由于电压表的内阻不为无穷大，使电流的测量产生了误差具体数据分析如下：U U U测量值R = = x ， 实际值R =〒x I I + I Ix U x故而在外接法时测量值较真实值偏小。
又由于：I=U/R ，I =U/R，x x U V相对误差也可由下式算出：R - R 一 R 一 R RW = X = 1 — x = 1 — V = (2)外 R R R + R R + RVV3、两种接法的选择接法的选择的唯一目的或是唯一判断标准，便是尽可能地减小乃至消除误差 在内接法时，系统误差是由电流表的内阻不为零带来的电压表的测量值不准(偏大)所造 成的，因此其相对误差由电流表内阻和待测电阻之比决定，如(1)式所示； 在外接法时，系统误差是由电压表的内阻不为无穷大带来的电流表的测量值不准(偏小) 所造成的，因此其相对误差大致是由待测电阻和电压表内阻之比决定，如(2)式所示很明显的，当电流表和电压表的内阻均为定值时，我们只用观察待测电阻R的阻值更接近 于哪个电表，即可判断出在该情况下更加理想的接法： 若电阻阻值偏小，接近电流表内阻，则不应选择因电流表内阻不为零带来的误差，因而选 用外接法；若电阻阻值较大，较接近电压表内阻，则不应选择电压表内阻不为无穷大所带 来的误差，因而选用内接法若要等到更加详细的数据结果，则需进行如下的计算：先假设当两种电路误差相等时，待测电阻阻值为R0由(1)(2)式可得：R + R RV = 0RR0A于是解得R02 — FaR0—RaRv=0R0=2'a 土丫RA + 4RaRv因为待测电阻只能取正值，故有1%=2+ i；'R2 + 4R RA A A V3)在两表内阻确定的情况下，只需比较R和R0间的大小关系即可决定接法: 当R > R0时，应当选用内接法；当R < R0时，应当选用外接法。
III 实验二 伏安法测电源的电动势及内阻1．内接法电流表内接，电路图如图3所示图3我们可以用两种方式来分析此法测量带来的误差：(1) U-I图结合UI函数的截距式分析：由全电路欧姆定律E = U+I • r得：对于一次的U-I函数：U=E-I・r而言，其图像必为一条不过原点的、斜率为负的直线，其与U 轴、I轴有两个交点其中与U轴交点坐标即I等于0时U所取到的值，即为电源电动势E； 该直线的斜率的绝对值，即图像与U轴和与I轴的两个截距的比值，即为电源内阻r因此将 此函数写成一次函数的截距式形式，我们可以直接判断产生的误差情况： 对于未修正前的方程而言：E = U+I ・ r 其截距式为：U Ir U I1 二 + 二 + —E E E E/r通过截距可以直接读出此时的电动势为U轴截距E,内阻为两截距之比E/(E/r)，即r；此为真 实值而对于考虑了电表内阻，修正后的方程而言：E = U + j r + 【・ Ra 其截距式为：4 U Ir IR U I(r + R ) U U1 = + + A = + — = +E E E E E E E/(r + R )A通过截距可以读出此时的电动势为U轴截距E,内阻为两截距之比E/(E/(r+RA))，即(r+RA)； 此为测量值。
因而可发现，在内接法中，E m=E真，而r n|=r+RA，故r测＞ r真测 真 测 A 测 真( 2)取两组实验数据代数分析：若不考虑电流表内阻，由两组测量数据列出方程组，联立后所得计算结果即为测量值：若考虑电流表内阻，由两组测量数据和修正后的全电路欧姆定律列出方程组，联立后所得计算 结果即为真实值：E = U2+I2(RA + r)所以,0 ★蛋，盼％，即内电阻的测量值等于真实值与电流表内阻之和，测量值大于真实值；而测电动势的测量值等于真实值这和我们用截距式法分析得到的结果是一致的2、外接法电流表外接，电路图如图4 所示：我们同样可以用两。