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1、精品数学高考复习资料第2讲参数方程、渐开线与摆线基础巩固1.在平面直角坐标系xOy中,曲线C1和C2的参数方程分别为 和(t为参数),则曲线C1与C2的交点坐标为.答案:(2,1)解析:由曲线C1的参数方程可得x2+y2=5,且由曲线C2的参数方程可得x=1+y,由联立得2.在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(为参数),在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,曲线C2的方程为(cos -sin )+1=0,则C1与C2的交点个数为.答案:2解析:曲线C1的参数方程可化为+=1,曲线C2的极坐标方程(cos -sin )+1=0化为直角坐
2、标方程为x-y+1=0.因直线x-y+1=0过定点(0,1),位于椭圆C1内,故C1与C2有2个交点.3.若直线l1:(t为参数)与直线l2:(s为参数)垂直,则k=.答案:-1解析:直线l1:kx+2y=k+4,直线l2:2x+y=1.直线l1与l2垂直,2k+2=0,即k=-1.4.若直线2x+ky-1=0(kR)与曲线(为参数)相切,则k值为.答案:解析:把曲线的参数方程转化为普通方程为x2+(y+1)2=1.由题意得=1,解得k=.5.已知曲线C的极坐标方程为=2cos .以极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系,则曲线C的参数方程为.答案:(为参数)解析:以极点为原点,极轴为x
3、轴的正半轴建立直角坐标系,可知曲线C是以(1,0)为圆心,半径为1的圆,其方程为(x-1)2+y2=1,故参数方程为(为参数).6.已知直线l的斜率为k=-1,经过点M0(2,-1),则直线l的参数方程为.答案:(t为参数)解析:直线l的斜率k=-1,其倾斜角=.于是cos =-,sin =.故直线l的参数方程是(t为参数).7.已知O为坐标原点,点M(x0,y0)在曲线C:(为参数)上运动,点P(x,y)是线段OM的中点,则点P的轨迹方程为.来源:答案:+y2=解析:(x-1)2+y2=cos2+sin2=1.故曲线C的普通方程为(x-1)2+y2=1.来源:点M(x0,y0)在曲线C上运动
4、,(x0-1)2+=1.来源:点P(x,y) 是线段OM的中点,即因此(2x-1)2+(2y)2=1,即+y2=.故点P的轨迹方程为+y2=.8.已知圆的方程为y2-6ysin +x2-8xcos +7cos2+8=0.(1)则圆心轨迹的参数方程C为;(2)点P(x,y)是(1)中曲线C上的动点,则2x+y的取值范围为.答案:(1)0,360)(2)-,解析:(1)将圆的方程整理得(x-4cos )2+(y-3sin )2=1.设圆心坐标为P(x,y),则0,360).(2)由(1)可知2x+y=8cos +3sin =sin(+),其中sin =,cos =.故-2x+y,即2x+y的取值范
5、围是-,.9.已知动点P,Q都在曲线C:(t为参数)上,对应参数分别为t=与t=2(02),M为PQ的中点.(1)则M的轨迹的参数方程为;(2)将M到坐标原点的距离d表示为的函数,M的轨迹是否过坐标原点?.答案:(1)(为参数,02)(2)是解析:(1)依题意有P(2cos ,2sin ),Q(2cos 2,2sin 2),因此M(cos +cos 2,sin +sin 2).来源:M的轨迹的参数方程为(为参数,02).(2)M点到坐标原点的距离d=(02).当=时,d=0,故M的轨迹过坐标原点.10.在平面直角坐标系中,以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l上两点M,
6、N的极坐标分别为(2,0),圆C的参数方程为(为参数).(1)设P为线段MN的中点,则直线OP的平面直角坐标方程为;(2)直线l与圆C的位置关系为.答案:(1)y=x(2)相交解析:(1)由题意知,M,N的平面直角坐标分别为(2,0),.又P为线段MN的中点,从而点P的平面直角坐标为,故直线OP的平面直角坐标方程为y=x.(2)因为直线l上两点M,N的平面直角坐标分别为(2,0),所以直线l的平面直角坐标方程为x+3y-2=0.又圆C的圆心坐标为(2,-),半径r=2,来源:圆心到直线l的距离d=r,故直线l与圆C相交.拓展延伸11.在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标
7、系.圆C1,直线C2的极坐标方程分别为=4sin ,cos=2.(1)C1与C2交点的极坐标分别为,;(2)设P为C1的圆心,Q为C1与C2交点连线的中点.已知直线PQ的参数方程为(tR为参数),则a=,b=.答案:(1)(答案不唯一)(2)-12解析:(1)圆C1的直角坐标方程为x2+(y-2)2=4,直线C2的直角坐标方程为x+y-4=0.解得所以C1与C2交点的极坐标为,.注:极坐标系下点的表示不唯一.(2)由(1)可得,P点与Q点的直角坐标分别为(0,2),(1,3).故直线PQ的直角坐标方程为x-y+2=0.由参数方程可得y=x-+1.所以解得a=-1,b=2.12.在直角坐标系xO
8、y中,曲线C1的参数方程为(为参数).M是C1上的动点,P点满足=2,P点的轨迹为曲线C2.(1)C2的方程为;(2)在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线=与C1的异于极点的交点为A,与C2的异于极点的交点为B,则|AB|=.答案:(1)(为参数)(2)2解析:(1)设P(x,y),则由条件知M.由于M点在曲线C1上,所以即从而曲线C2的参数方程为(为参数).(2)曲线C1的极坐标方程为=4sin ,曲线C2的极坐标方程为=8sin .射线=与曲线C1的交点A的极径为1=4sin ,射线=与曲线C2的交点B的极径为2=8sin.故|AB|=|2-1|=2.精品备战高考复习题精品备战高考复习题
