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1、2016年清华大学自主招生暨领军计划试题1.已知函数有最小值，则函数的零点个数为（ ）A. B. C. D.取决于的值答案：注意，答案C.2. 已知的三个内角所对的边为.下列条件中，能使得的形状唯一确定的有（ ）A. B.C.D.答案：对于选项A，由于，于是有唯一取值2，符合题意；对于选项B，由正弦定理，有，可得，无解；对于选项C，条件即，于是，不符合题意；对于选项，由正弦定理，有，又，于是，符合题意.答案：AD.3.已知函数，下列说法中正确的有（ ）A.在点处有公切线B.存在的某条切线与的某条切线平行C. 有且只有一个交点D. 有且只有两个交点答案：注意到为函数在处的切线，如图，因此答案BD
2、.4. 过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，为线段的中点.下列说法中正确的有（ ）A.以线段为直径的圆与直线一定相离B. 的最小值为C. 的最小值为D.以线段为直径的圆与轴一定相切答案：对于选项A，点到准线的距离为，于是以线段为直径的圆与直线一定相切，进而与直线一定相离；对于选项B,C，设，则，于是，最小值为4.也可将转化为中点到准线的距离的2倍去得到最小值；对于选项D，显然中点的横坐标与不一定相等，因此命题错误.答案：AB.5. 已知是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点.下列说法中正确的有（ ）A.时，满足的点有两个B. 时，满足的点有四个C.的周长小于D. 的面积小于等于答案：对于选项A,B，
3、椭圆中使得最大的点位于短轴的两个端点；对于选项C，的周长为；对于选项D，的面积为.答案：ABCD.6.甲、乙、丙、丁四个人参加比赛，有两花获奖.比赛结果揭晓之前，四个人作了如下猜测：甲：两名获奖者在乙、丙、丁中；乙：我没有获奖，丙获奖了；丙：甲、丁中有且只有一个获奖；丁：乙说得对.已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的，那么两个获奖者是（ ）A.甲 B.乙 C.丙 D.丁答案：乙和丁同时正确或者同时错误，分类即可，答案：BD.7. 已知为圆的一条弦（非直径），于，为圆上任意一点，直线与直线相交于点，直线与直线相交于点.以下说法正确的有（ ）A.四点共圆 B. 四点共圆C. 四点共圆 D.以上
4、三个说法均不对答案：7.对于选项A，即得；对于选项B，若命题成立，则为直径，必然有为直角，不符合题意；对于选项C，即得.答案：AC.8.是为锐角三角形的（ ）A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件答案：必要性：由于,类似地，有，于是.不充分性：当时，不等式成立，但不是锐角三角形.答案：B.9.已知为正整数，且，那么方程的解的组数为（ ）A. B. C. D.答案：由于，故.若，则，可得；若，则，可得；若，则，进而解得；若，则，可得.答案：B.10.集合，任取这三个式子中至少有一个成立，则的最大值为（ ）A. B. C. D.答案：不妨假设，若集合中的
5、正数的个数大于等于4，由于和均大于，于是有，从而，矛盾！所以集合中至多有3个正数.同理可知集合中最多有3个负数.取，满足题意，所以的最大值为7.答案B.11.已知，则下列各式中成立的有（ ）A.B.C. D. 答案：令，则，所以，以上三式相加，即有.类似地，有，以上三式相加，即有.答案BD.12.已知实数满足，则的最大值也最小值乘积属于区间（ ）A. B. C. D.答案：设函数，则其导函数，作出的图象，函数的图象在处的切线，以及函数的图象过点和的割线，如图，于是可得，左侧等号当或时取得； 右侧等号当时取得.因此原式的最大值为，当时取得；最小值为，当时取得，从而原式的最大值与最小值的乘积为.答
6、案B.13.已知，则下列结论正确的有（ ）A.的最大值为 B. 的最大值为C. 的最大值为 D. 的最小值为答案：由可得.设，则是关于的方程的三个根.令，则利用导数可得，所以，等号显然可以取到.故选项A,B都对.因为，所以，等号显然可以取到，故选项C错误.答案ABD.14.数列满足，对任意正整数，以下说法中正确的有（ ）A.为定值 B.或C.为完全平方数 D.为完全平方数答案：因为.所以A选项正确；由于，故，又对任意正整数恒成立，所以，故选项C,D正确.计算前几个数可判断选项错误.答案：ACD.说明：若数列满足，则为定值.15. 若复数满足，则可以取到的值有（ ）A. B. C. D. 答案：
7、因为，故，等号分别当和时取得.答案CD.16. 从正2016边形的顶点中任取若干个，顺次相连构成多边形，若正多边形的个数为（ ）A. B. C. D.答案：从2016的约数中去掉1，2，其余的约数均可作为正多边形的边数.设从2016个顶点中选出个构成正多边形，这样的正多边形有个，因此所求的正多边形的个数就是2016的所有约数之和减去2016和1008.考虑到，因此所求正多边形的个数为.答案C.17.已知椭圆与直线，过椭圆上一点作的平行线，分别交于两点.若为定值，则（ ）A. B. C. D.答案：设点，可得，故意为定值，所以，答案：C.说明：（1）若将两条直线的方程改为，则；（2）两条相交直线
8、上各取一点，使得为定值，则线段中点的轨迹为圆或椭圆.18. 关于的不定方程的正整数解的组数为（ ）A. B. C. D.答案：方程两边同时模3，可得，因不能被3整除，故不能被3整除，所以，故，所以为偶数，可设，则有，解得即答案：B.19.因为实数的乘法满足交换律与结合律，所以若干个实数相乘的时候，可以有不同的次序.例如，三个实数相乘的时候，可以有等等不同的次序.记个实数相乘时不同的次序有种，则（ ）A. B. C. D.答案：根据卡特兰数的定义，可得.答案：AB.关于卡特兰数的相关知识见卡特兰数计数映射方法的伟大胜利.20.甲乙丙丁4个人进行网球淘汰赛，规定首先甲乙一组、丙丁一组进行比赛，两组
9、的胜者争夺冠军.4个人相互比赛的胜率如表所示：表中的每个数字表示其所在的选手击败其所在列的选手的概率，例如甲击败乙的概率是0.3，乙击败丁的概率是0.4.那么甲刻冠军的概率是 .答案：根据概率的乘法公式 ，所示概率为.21.在正三棱锥中，的边长为1.设点到平面的距离为，异面直线的距离为.则 .答案：当时，趋于与平面垂直，所求极限为中边上的高，为.22.如图，正方体的棱长为1，中心为，则四面体的体积为 .答案：如图，.23. .答案：根据题意，有.24.实数满足，则的最大值为 .答案：根据题意，有，于是，等号当时取得，因此所求最大值为1.25.均为非负实数，满足，则的最大值与最小值分别为 .答案
10、：由柯西不等式可知，当且仅当时，取到最大值.根据题意，有，于是解得.于是的最小值当时取得，为.26.若为内一点，满足，设，则 .答案：根据奔驰定理，有.27.已知复数，则 .答案：根据题意，有.28.已知为非零复数，的实部与虚部均为不小于1的正数，则在复平面中，所对应的向量的端点运动所形成的图形的面积为 .答案：设，由于，于是如图，弓形面积为，四边形的面积为.于是所示求面积为.29.若，则 .答案：根据题意，有.30.将16个数：4个1，4个2，4个3，4个4填入一个的数表中，要求每行、每列都恰好有两个偶数，共有 种填法.答案：首先确定偶数的位置有多少种选择.第一行两个偶数有种选择.下面考虑这两个偶数所在的列，每列还需要再填空一个偶数，设为.情形一：若位于同一行，它们的位置有3种选择，此时剩下的四个偶数所填的位置唯一确定；情形二：若位于不同的行，它们的位置有6种选择，此时剩下的四个偶数所填的位置有2种选择.所以偶数的不是位置数为.因此，总的填法数为.31.设是集合的子集，从中任取3个元素，由小到大排列之后都不能构成等差数列，则中元素个数的最大值为 .答案：一方面，设，其中.不妨假设.若，由题意，且，故.同理.又因为，所以，矛盾！故.另一方面，取，满足题意.综上所述，中元素个数的最大值为8.1.2.3.4.5.6.8.9.10.11. 11.12.7
