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1、余弦定理证明两法江苏省靖江高级中学 蔡正伟(214500)证明余弦定理有很多方法，苏教版必修 证明余弦定理的方法供大家参考。一、解析法如图，把/ABC的顶点C置于坐标原点,CA 落在 x 轴的正半轴上，/ABC 中 AC=b, CB = a, AB = c,则 A， B， C 点的坐分别为A (b,0) , B(acosC,asinC), C (0,0) .则AB2 = c2 = (a cos C - b)2 + (a sin C - 0)2=a 2 + b 2 一 2ab cos C。,笔者介绍二种a2 cos2 C 一 2ab cos C + b2 + a2 sin2 C即：c 2 = a
2、 2 + b 2 一 2ab cos C轮换三个角就可以得到另外两个式子。 二、利用正弦定理证明如图，把/ABC的顶点C置于坐标原点，CA落在x轴的正半轴上,/ ABC 中 AC= b, CB= a, AB= c,则 A, B, C 点的坐分别为A(b,0) , B(acosC,asinC), C (0,0) .AB = (a cos C 一 b, a sin C)平移AB到OD，则ZDOA二兀A ,D ( ccos(兀一 A),c sin(兀一 A),即(-ccos A,csin A ) 则 OD = ( 一 ccos A, sin A )o 因为AB = OD，所以有：a cos C b
3、= -c cos Aa sin C = c sin A式子其实就是正弦定理，将式子两边平方得：a2 cos2 C + b2 一 2bccos C = c2 cos2 A即 a 2(1 - sin 2 C) + b 2 一 2bc cos C = c 2(1 - sin 2 A)a 2 一 a 2 sin 2 C + b 2 一 2bc cos C = c 2 一 c 2 sin 2 A由正弦定理 a sin C = c sin A所以：c2 = a2 + b2 一 2abcosC。这样也可以证明余弦定理。需要说明的是，第二种方法同时也证明了正弦定理。 余弦定理的证明还有很多方法，比如学习了复数后还可以借助复数证明，有兴趣的读者 不妨一试。
