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1、直线的参数方程及应用yh0hP0hP()Q 问题1：(直线由点和方向拟定） 求通过点(),倾斜角为的直线的参数方程. 设点()是直线上任意一点,(规定向上的方向为直线L的正方向）过点作y轴的平行线，过P0作x轴的平行线，两条直线相交于Q点 1)当与直线同方向或P0和P重叠时，yh0hP()P0hQP0=P0P| 则Q=PPcs Q P=P0sin2)当与直线反方向时,P0P、PQ、Q P同步变化符号PP=|0P| QP0Pcs Q P=PPsn仍成立设0P=t,t为参数,又P=, tco Q t si 即是所求的直线的参数方程 P0Pt,t为参数,t的几何意义是:有向直线上从已知点P0(）到点
2、 P()的有向线段的数量,且|P|=|t| 当t0时，点P在点P0的上方; 当t=时，点与点P0重叠； 当t0时，点P在点P的下方;yh0hP0hP()特别地，若直线的倾斜角0时，直线的参数方程为 当t0时，点在点P0的右侧； 当时，点P与点0重叠；yh0hPP0h 当t0时，点P在点P0的左侧;问题:直线上的点与相应的参数t是不是一 相应关系? 我们把直线看作是实数轴， 以直线向上的方向为正方向，以定点P0 为原点，以原坐标系的单位长为单位长, 这样参数t便和这条实数轴上的点P建立了 一一相应关系.问题3：P1、2为直线上两点所相应的参数分别为t1、2 , 则12？，P1P=？ PP20+0
3、P2=-t1+2t2-t1,1P t2-t1问题yh0hP1P0hP2:若0为直线上两点1、P2的中点,1、所相应的 参数分别为1、t2 ,则t1、之间有何关系？ 根据直线参数方程t的几何意义， P1t，2P=t2,P0为直线 上两点P、2的中点,|PP=|P2P| P1PP2P，即-t2， tt20 一般地，若P1、P2、P是直线上的点, 所相应的参数分别为t1、3，3为P1、P2的中点 则t3= (1P3=P2P3, 根据直线参数方程的几何意义, P1P3 -t,P2P3= t3-t2,tt1=(t-t2，) ） 总结:1、 直线参数方程的原则式(1)过点P0(）,倾斜角为的直线的参数方程
4、是 (为参数）t的几何意义：t表达有向线段的数量,P(） 0=t P0P=t 为直线上任意一点. ()若P1、P2是直线上两点，所相应的参数分别为t1、t,则P12=t2t1 P1P2t 2t 1 (3) 若、P2、P3是直线上的点，所相应的参数分别为t1、t、t3 则P1P2中点P3的参数为t3,03 ()若P为P12的中点，则1+20，tt20,设这个二次方程的两个根为t1、t2，由韦达定理得 +t2, tt2 ，由为线段AB的中点,根据t的几何意义,得 PM = 中点M所相应的参数为t M=,将此值代入直线的原则参数方程*，M点的坐标为 即 M(，）(3) |A| 2t 1 点拨：运用直
5、线的原则参数方程中参数的几何意义，在解决诸如直线上两点间的距离、直线上某两点的中点以及与此有关的某些问题时,比用直线的一般方程来解决显得比较灵活和简捷.例7:已知直线通过点P（,-3）,倾斜角为, (1)求直线与直线：的交点与P点的距离| PQ|； （2）求直线和圆=16的两个交点，B与P点的距离之积. 解:(1)直线通过点P（1，-3),倾斜角为,直线的原则参数方 程为，即（t为参数）代入直线: 得整顿,解得t= =4+2即为直线与直线的交点Q所相应的参数值，根据参数的几 何意义可知：|t=| PQ,| PQ|=4+2()把直线的原则参数方程为（为参数)代入圆的方程16，得，整顿得:t28t+=0, =82-4120,设此二次方程的两个根为t、t2 则t1t1 根据参数t的几何意义,t1、t2 分别为直线和圆=1的两个交点A，所相应的参数值,则t=A,|t2| B|,因此 PA| PB|t1 t|=2点拨：运用直线原则参数方程中的参数t的几何意义解决距离问题、距离的乘积(或商)的问题，比使用直线的一般方程,与另一曲线方程联立先求得交点坐标再运用两点间的距离公式简便例8:设抛物线过两点A(1，6）和B（，-2),对称轴与轴平行，开口向右, 直线=2+7被抛物线截得的线段长是4,求抛物线方程. 解：由题意,得抛物线
