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2、处理中，倡导利用回归法；提出在作图法中画出误差杆，以更明确地表明实验的精度。关键词 误差，测量不确定度，标准差，展伸不确定度，数据处理，误差杆，回归法。测量不秸服蠢丈貉方杀斜尹诽缠抽蚂穴仍亭箍迢拽窝介补院臻腊钮保黄缕啪灭唁委步迈冯羔醇绎也舀适般壮本临潘跋章苗港佳租衙轧跑帕寥放帅恶函伦虹授窖将锥委良役沪戊膊百颊嗜橇井睬篓探桑蝗境桑涨赣拼哭魔挺浑吟泡盂长嘘浴犁妮杨旨雀攻席稳悠捷榜赌愉迹睁侨日熊刁棍础焚送彦疫等粱籽乾潍镍解熟练经孩渡拧酥巳邑逗伟拙聘并船辣释蒸辟惧楷骸牺摇晾棍唯招歇霜掣预奥敬伸亢干愚札侵骏顷游雷派缠怨石付啄蛇寇贮塘坊穷墨蹋诗兑臻食褪禁五拎安斟墅氧夕抗逊漓袍锚菜买氨友涉峭吟辛服俱还汪科鞠
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5、度注1，但总的趋势是在贯彻指南的同时，不断改善它。测量不确定度定义为测量结果带有的一个参数，用以表征合理赋予被测量量的分散性，它是被测量客观值在某一量值范围内的一个评定。不确定度理论将不确定度按照测量数据的性质分类：符合统计规律的，称为A类不确定度，而不符合统计规律的统称为B类不确定度。测量不确定度的理论保留系统误差的概念，也不排除误差的概念。这里的误差指测量值与平均值之差或测量值与标准值（用更高级的仪器的测量值）的偏差。n 测量不确定度的 B类分量= 仪器的最大允差仪测量中凡是不符合统计规律的不确定度统称为B类不确定度，记为B 。它包含了由测量者估算产生的部分估和仪器精度有限所产生的最大允差
6、仪。仪包含了仪器的系统误差，也包含了环境以及测量者自身可能出现的变化（具随机性）对测量结果的影响。仪可从仪器说明书中得到，它表征同一规格型号的合格产品，在正常使用条件下，一次测量可能产生的最大误差。一般而言，仪为仪器最小刻度所对应的物理量的数量级（但不同仪器差别很大，一些常用仪器的最大允差见第26页）。= 测量者的估算误差估测量者对被测物或对仪器示数判断的不确定性会产生估算误差估。对于有刻度的仪器仪表，通常估为最小刻度的十分之几，小于仪（因为最大允差已包含了测量者正确使用仪器的估算误差）。比如，估读螺旋测微器最小刻度的十分之一为0.001毫米，小于其最大允差0.004毫米；估读钢板尺最小刻度的
7、十分之一为0.1毫米，小于其最大允差0.15毫米。但有时估会大于仪。比如，用电子秒表测量几分钟的时间，测量者在计时判断上会有0.1-0.2秒的误差。而电子秒表的稳定性为10-5秒/天，显然仪器的最大允差小得实在可以忽略。又如第30届国际物理奥林匹克竞赛实验题中要测量一个摆杆的质心到一端的距离。将摆杆放到一个“”型物上并使之平衡，测量支撑点到摆一端的距离。由于“”型物棱宽为2mm ，摆杆在棱上移动1mm均能保持平衡，使得一次测量的估算误差应为1mm ，大于钢直尺的最大允差仪=0.15mm 。在拉伸法测金属丝杨氏模量实验中，由于难以对准金属丝被轧头夹住的位置，钢丝长度的估算误差可达（1-2）mm
8、。在暗室中做几何光学实验，进行长度测量时，长度的估算误差也可达（1-2）mm 。如果估和仪是彼此无关的，B类不确定度B为它们的合成：若估和仪中，某个量小于另一量的三分之一，平方后将小一个数量级，则可以忽略不计。由于一般而言，估比仪小（正常使用下已包含其中），在以下的讨论中仅以仪表示B。= B类分量的标准差多次用同一规格型号的不同仪器测量同一物理量，测量值可能不同。这些测量值与平均值之差也是按一定概率分布的。正态分布是连续型随机变量中最常用、最重要的分布。一般而言，在相同条件下大批生产的产品，其质量指标一般服从正态分布。如某个数量指标X是很多随机因素之和，而每种因素所起的作用均匀微小，则X为服从
9、随机分布的变量。例如，工厂大量生产某一产品，当设备、技术、原材料、工艺等可控制的生产条件都相对稳定，不存在系统误差的明显因素，则产品的质量指标近似服从正态分布。如果仪器的测量误差在最大允差范围内出现的概率都相等（如长度块规在一定温度范围内由于热胀冷缩导致的长度值变化），就为均匀分布。界于两种分布之间则可用三角分布来描述。一次测量值的B类标准差为其中C称为置信系数。在最大允差范围内，对于正态分布，C=9 =3；对于三角分布，C= 6，对于均匀分布，C=3。第32页给出几种常用仪器的误差分布以及C的取值，见下表注2：仪器名称 米尺游标卡尺 千分尺物理天平 秒表误差分布 正态分布均匀分布正态分布正态
10、分布正态分布 C 3 3 3 3 3符合正态分布的测量列中某次测量值与平均值之差落在-，之间的概率为68.3%,落在-2，2之间为95.55%,落在-3，3之间的概率为99.73%（见图1），所以仪器的最大允差规定为仪=3。不同的分布，在相同范围内的置信概率有所不同。不明确这一点，在合成不确定度的A类分量和B类分量时，就无法给出正确的置信概率和置信区间。为了说明这一点，先要做一些数学铺垫。= 三种仪器误差分布按照概率统计理论注3，若x是连续型随机变量，其概率密度函数为f(x)，则其数学期望值为其方差为标准差为对于等精度测量，随机量其数学期望值（即平均值）为方差为标准差为设随机变量X在a,b上服
11、从均匀分布（见图2），即其平均值为其方差为其标准差为特例：当a = -仪 ,b =仪时，(X)=仪/3 0.577仪。也即如果仪器误差符合均匀分布，其一次测量值与标准值之差落在-，内的概率为57.7%，低于正态分布相应的68.3%；而落在-3，3内的概率就已经达到100%，与正态分布有很大不同（比较图1和图2）。设随机变量X在-仪 ,仪上的分布为三角分布（见图3）由其对称性易得测量列的平均值为方差为标准差X落在-, 之间的概率P（），如图3中阴影的面积，P（）=0.758；而 P（2）=0.966。三种分布的标准差以及各置信区间相应的概率如下表： 分布 标准差 P（） P（2） P（3） 正态
12、分布 /3 0.683 0.955 0.997 三角分布 /6 0.758 0.966 1 均匀分布 /3 0.577 1 1因此，不能笼统地说测量误差落在标准差范围内的概率为68.3%，落在两倍标准差范围内的概率为95.5%。在合成标准不确定度时，要注意区分不同的分布。n 合成标准不确定度和展伸不确定度将A类和B类标准差合成得到置信概率P=0.68的合成标准不确定度：若考虑到测量次数，还应t因子修正。将合成标准不确定度乘以一个与一定置信概率相联系的包含因子（或称覆盖因子）K，得到增大置信概率的不确定度叫做展伸不确定度（或扩展不确定度）。通常取置信概率为0.95，K=2。对正态分布，k0.95
13、=1.96 K=2。这时的展伸不确定度为考虑到通常测量6次左右,查阅t因子表，t0.95=2.57, t2/61,C=3, Kk0.95=1.96,(K/C)0.5。所以，置信概率P=0.95的展伸不确定度的便于操作的公式为用均匀分布或三角分布得到的B类标准不确定度与服从正态分布的A类标准不确定度来计算合成不确定度时，要用到卷积运算，其结果和与仪之比有关，可参阅文献4。注意到不确定度的统计学意义和在上述操作中的近似，在实际工作中，常常忽略不同分布的差别（有时也不知道是什么分布），而把仪 当成均匀分布，取置信因子C=3。这样得到一种较为保守的公式其置信概率应记为P0.95。实验数据处理n 几种常
14、用方法列表法、作图法、逐差法和回归法。n 误差杆的概念和应用在研究两个物理量之间的关系时，常用到作图法。在作图法中，一对测量值确定一个点，叫做“数据点”（教材第一册43页）。如果在作图时用线段标示出测量值的不确定度仪，则将会更全面地反映出实验的精度。线段的长度为2仪，这种小线段称为误差杆。考虑到通常选比较容易测量的物理量作为自变量，常用横坐标表示之，且其仪较小，所以在作图中往往只需沿纵坐标方向画出误差杆。如果绝大多数数据点可以拟合成一条直线（或曲线），只有一个点偏离甚远，就要考虑这一对测量值的可靠性了。严格地讲，应该重新测量。但有时无法或没必要重做实验，可不可以舍弃这个点呢？一般来说，在有限范
15、围内，两个物理量之间的关系多为连续的；反映其关系的曲线不大可能有大的突然起伏。我们可以参照测量不确定度理论中剔除坏值的3原则来处理。如果该点到按其他点拟合的曲线的距离大于1.5倍误差杆的长度，就可以舍弃该点。不画出误差杆就难以判断。要注意，曲线拟合是对多个数据点的统计学意义下的操作，若一共只有3、4个点，就不能草率地舍弃任何一个点了。还要注意，各个数据点的误差杆长度不一定相等。或者，对数据做某种处理（如取对数）后，再进行作图，误差杆的长度也会变化。譬如，某1.0级的电压表的量程为100伏，对于测量值为20.0伏、30.0伏、40.0伏和 50.0伏，它们的最大允差均为1.0伏。若纵坐标为电压，则误差杆的长度都是20.1伏；而若以电压值的对数为纵坐标，则误差杆的长度为2V/V=0.2/V，电压值不同，误差杆长度就不同。n 作图法和回归法的比较作图法的最大优点是直观。在诸多数据点的拟合中，如果发现有一
