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1、第六节微分方程的应用举例在学习了以上几节内容关于微分方程解法的基础上，本节将举例说明如何通过建立微分方程解决一些在几何上和物理上的实际问题。例1设曲线过（1，1），且其上任意点的切线在轴上的截距是切点纵坐标的三倍，求此曲线方程（图12-1）解：设所求的曲线方程为为其上任意 y点，则过点P的切线方程为. P(x,y)其中是切线上动点，是曲线上任意固定的点。 L令,的为切线在y轴上的截距。由 x所给的条件得微分方程： 图12-1这是一阶线性齐次方程，易得其通解为。因曲线过点（1，1），代入上式，得，所以曲线方程为.例2设跳伞员开始跳伞后所受的空气阻力与他下落的速度成正比（比例系数为常数），起跳时的
2、速度为0。求下落的速度与时间之间的函数关系。解：这是一个运动问题，我们可以利用牛顿第二定律建立微分方程。首先，设下落速度为，则加速度。再分析运动物体所受的外力。在此，跳伞员只受重力和阻力这两个力的作用。重力的大小为，方向与速度方向一致；阻力大小为，方向与速度方向相反。因此，所受的外力为，于是，由牛顿第二定律可得到速度应满足的微分方程为，又因为假设起跳时的速度为0，所以，其初始条件为，至此，我们已将这个运动问题化为一个初值问题解此初值问题。这是一个一阶线性非齐次微分方程，但由于的系数及自由项均为常数，故也可按分离变量方程来解。求出方程的通解为.将初始条件代入，得。所以，所求特解为.即所求的函数关
3、系。从上式可以看出，当充分大时，速度近似为常量。也就是说，跳伞之初是加速运动，但逐渐趋向于匀速运动。正因为如此，跳伞员才得以安全着落。以上例题表明，根据实际问题建立微分方程时，应明确在该问题中未知函数导数的实际意义，并运用有关科学中的基本知识（常借助于已知的物理定律）寻找含有未知函数导数的等量关系，从而建立描述该问题的微分方程。下面，我们再看几个例子。例3设R-C电路如图12-2所示，其中电阻R和电容C均为正常数，电源电压为E，如果开关K闭合（）时，电容两端的电压，试求开关合上后电压随时间的变化规律。解：这是一个电学问题，我们运用有关的电学定律来建立微分方程。由闭合回路电压定律知电源电压等于外
4、电路上各段电压之和， 图12-2即，这里，电容两端的电压是时间的函数，也就是我们要寻求的未知函数；电阻两端的电压，其中R是常数，为电路中的电流量，它是一个变量，变量与未知函数有什么关系呢？考虑到电流是电量关于时间的变化率，即，而电容上的电量，所以有，从而。于是，我们得到应满足的微分方程：.此外，由题意知所满足的初始条件为.于是，我们列出初值问题并对两种不同的电源进行讨论。（1） 直流电源。这时电源电压E为常量，则方程是一个可分离变量方程，也是一阶线性非齐次方程。可求得它的通解为（为任意常数）.将初始条件代入，得。因此，电容两端的电压随时间的变化规律为.（2） 交流电源。这时电源电压，其中都是常
5、量，则方程是一个一阶线性非齐次方程，其中的系数，自由项，可以求得它的通解为，其中为任意常数。为了便于说明它所反映的物理现象，可将上面解的形式写成：，其中，。再将初始条件代入，得。于是，得电容两端的电压随时间的变化规律为.因为，故由所得的解可以看出，当增大时，电容电压将逐渐稳定。使用直流电源充电时，电容电压从零逐渐增大，经过一段时间后，基本上达到电源电压；使用交流电源充电时，电容电压的解析表达式中第二项经过一段时间后就会变得很小而不起作用（这一项称做暂态电压），即电压可由第一项决定，而第一项是正弦型函数（这一项称作稳态电压），它的周期和电源电压的周期相同、而相脚落后。的这段变化过程称作过渡过程，
6、它是电子技术中最常见的现象。例4假设一高温物体在冷却剂中均匀地冷却，其介质（冷却剂）温度始终保持为10，物体的初始温度为200，且由200冷却到100需要40s。已知冷却定律：冷却速率与物体和介质的温度差成正比。试求物体温度与时间的函数关系，并求物体温度降到20所需的时间。解设物体温度，它是时间的函数，则物体的冷却速率就是温度对时间的变化率，即。因此，由冷却定律可得应该满足的微分方程为，其中，比例系数，由于物体在冷却剂中降温，所以温度变化率不为正，因而上式右端有负号。此外，由题意知所满足的初始条件为.于是，初值问题是解此初值问题，得特解为.我们再由题意确定比例系数。因为该物体由200冷却到10
7、0需要40s，即，由次，得从而得物体温度与时间的函数关系为最后，将代入上式，并解出.即物体温度降到20大约需要2min38s。例5某湖泊的水量为，每年排入湖泊内的含污染物的污水量为，流出湖泊的水量为，已知1999年底湖中的含量为，超过了国家规定指标。为了治理污染，从2000年初起，限定排入湖中含的污水浓度不超过，问至多需经过多少年，湖泊中污染物的含量降至以内？（注：设湖水中的浓度是均匀的）。解题思路根据污染物的排入量和排出量确定湖泊中污染物的含量降低的速度，用表示第年湖中污染物的总量，分别表示第年污染物的排入速度和排出速度，则根据题目条件可以确定。解设从2000年初（令此时）开始，第年湖中污染
8、物的总量为，浓度为，则在时间间隔内，排入湖泊中的量为，流出湖泊的水中的量为，因此在时间间隔内湖泊中污染物的改变量等于用分离变量法解此方程得到代入初值条件，得到，于是令，得到，即至多经过年，湖泊中污染物的含量降至以内。习题12-61质量为1g（克）的质点受外力作用作直线运动，这外力和时间成正比，和质点运动的速度成反比。在时，速度等于50cm/s，外力为4g，问从运动开始经过了一分钟后的速度是多少？2镭的衰变有如下的 规律：镭的衰变速度与它的现存量R成正比。有经验材料得知，镭经过1600年后，只余原始量的一半，试求镭的量R与时间t的函数关系。3求一曲线的方程，这曲线通过原点，并且它在点（x,y）处的切线斜率等于2x+y。4一链条悬挂在一钉子上，起动时一端离开钉子8m，另一端离开钉子12m，分别在以下两种情况下求链条滑下来所需要的时间：（1）若不计钉子对链条所产生的摩擦力；（2）若摩擦力为1m长的链条的重量。273
