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1、因式分解拓展题解板块一：换元法例 1 分解因式：(x 2 + 4 x + 8)2 + 3x( x 2 + 4 x + 8) + 2 x 2【解析】将x2 + 4x + 8 = u看成一个字母，可利用十字相乘得原式=u 2 + 3xu + 2 x 2 = (u + x)(u + 2 x) = (x 2 + 4 x + 8 + x)( x 2 + 4 x + 8 + 2 x)=(x 2 + 5 x + 8)( x 2 + 6 x + 8) = (x + 2)( x + 4)( x 2 + 5 x + 8)例 2 分解因式：(x2 + 5x + 2)(x2 + 5x + 3) -12【解析】方法1
2、:将x2 + 5x看作一个整体，设 x 2 + 5 x = t ，则原式=(t + 2)(t + 3) 一 12 = 12 + 5t - 6 = (t 一 1)(t + 6) = (x + 2)( x + 3)( x 2 + 5 x 一 1) 方法2 :将x2 + 5x + 2看作一个整体，设x2 + 5x + 2 = t，则原式=t (t +1) -12 = 12 +1 -12 = (t - 3)(t + 4) = (x + 2)( x + 3)(x 2 + 5x -1)方法3 :将x2 + 5x + 3看作一个整体，过程略如果学生的能力到一定的程度，甚至 连换元都不用，直接把x2 + 5x
3、看作一个整体，将原式展开，分组分解即可， 贝U原式=(x2 + 5x)2 + 5(x2 + 5x) - 6 = (x2 + 5x - 1)(x2 + 5x + 6) = (x + 2)(x + 3) (x2 + 5x -1).【巩固】分解因式：(x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) +15【解析】 (x + 2)( x + 6)( x 2 + 8 x +10)【巩固】分解因式：(x2 + x + 1)(x2 + x + 2) 12【解析】(x 1)(x + 2)( x2 + x + 5)例 3 证明：四个连续整数的乘积加 1 是整数的平方【解析】设这四个连续整数为 :x +1
4、、x + 2、x + 3、x + 4(x + 1)(x + 2)( x + 3)(x + 4) +1 = (x + 1)(x + 4)( x + 2)( x + 3) +1 = (x 2 + 5 x + 4)( x 2 + 5 x + 6) +12 54 + 6u = x 2 + 5x +2原工式 = (x2 + 5 x + 5) 1(x2 + 5 x + 5) +1 +1 = (x2 + 5 x + 5)2 1 + 1 = (x2 + 5 x + 5)2【巩固】若x , y是整数，求证：(x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y)+ y4是一个完全平方数. 【解析】(x +
5、 y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y)+ y4 = (x+ y)(x + 4y)(x + 2y)(x + 3y) + y4= (x25xy 4y2)(x25xy 6y2) y4令 x25 xy 4 y 2 = u上式 u (u + 2 y 2) + y 4 = (u + y 2)2 = (x 2 +5 xy + 5 y 2)2即(x + y)(x + 2 y)(x + 3 y)(x + 4 y)+ y 4 = (x 2 + 5 xy + 5 y 2)2例 4 分解因式(2a + 5)(a2 - 9)(2a - 7) - 91【解析】 原式=(2a + 5)(a - 3)(a +
6、 3)(2a - 7) - 91 = (2a2 - a - 15)(2a2 - a - 21)- 91 设 2a 2 - a -15 = x ,原式=x(x - 6) - 91 = x2 - 6x - 91 = (x - 13)(x + 7) = (2a2 - a - 28)(2a2 - a - 8)=(a 4)(2a + 7)(2 a2 a 8)【巩固】分解因式(x2 + 3x + 2)(3 + 8x + 4x2) -90【解析】原式=(x + 1)(x + 2)(2x + 1)(2x + 3) - 90 = (2x2 + 5x + 3)(2x2 + 5x + 2) - 90y = 2 x
7、2 + 5 x原式=(y + 3)( y + 2) - 90 = y 2 + 5 y - 84 = (y +12)( y - 7) = (2 x 2 + 5 x +12)(2 x + 7)( x -1)例 5 分解因式：4(3x2 - x - 1)(x2 + 2x - 3) - (4x2 + x - 4)2【解析】咋一看，很不好下手，仔细观察发现：(3x2 - x -1) + (x2 + 2x - 3) = 4x2 + x - 4 , 故可设 3x2 - x -1 = A, x2 + 2x - 3 = B，贝Q 4x2 + x - 4 = A + B.故原式= 4AB - (A + B)2 =
8、 A2 -B2 + 2AB = -(A - B)2=(3x 2 x 1) (x 2 + 2 x 3)2 = -(2 x 2 3x + 2)2 【巩固】分解因式：(a + b - 2ab)(a + b - 2) + (1-ab)2【解析】由于题中以整体形式出现的式子有两个，共 4 个地方，故采取换元法后会大大简 化计算过程，不妨设 a + b = x, ab = y ,【解析】则原式二(x - 2y)(x - 2) + (1- y)2 =x 2 - 2 xy + y 2 + 2 y - 2 x+1 = (x y )2 2( x y) +1 = (x y 1)2 = (a + b ab 1)2 =
9、 (1 a )2 (1 b)2例 6 分解因式：(x +1)4 + (x + 3)4 272【解析】设y = x + 1 + x + 3 = x + 2 ，贝U原式二(y -1)4 + (y +1)4 - 272 = 2(y4 + 6y2 +1) - 272 2=2(y4+6y2-135)=2(y2-9)(y2+15)=2(y+3)(y-3)(y2+15) =2(x+5)(x-1)(x2 +4x+19)【巩固】分解因式： a4 + 44 + (a - 4)4【解析】为方便运算，更加对称起见，我们令x = a - 2a4+44+(a-4)4 =(x+2)4+(x-2)4+44=(x2+4x+4)
10、2+(x2-4x+4)2+44= 2(x4 + 24x2 +16) + 256 = 2(x4 + 24x2 +144) = 2(x2 +12)2 = 2(a - 2)2 +122 = 2(a2 - 4a +16)2 板块二：因式定理因式定理：如果x = a时，多项式a xn + a xn-1 +. + a x + a的值为0，那么x - a是该多项nn -110式的一个因式.有理根：有理根c = P的分子p是常数项a的因数，分母q是首项系数a的因数.q0例 7分解因式： 2x3 - x2 -5x-2【巩固】a =-2的因数是1 , 2 , a = 2的因数是1 , 2 . 0n因此，原式的有理
11、根只可能是1 , 2 (分母为1) , 1 . 2因为 f(1)=2-1-5-2=-6， f(-1)=-2-1+5-2=0，n2 x 2 3x 2x +1,2 x3 x2 5 x 22 x3 + 2 x 2 - 3 x 2 - 5 x3x2 3x -2x-222 x 2于是-1是f (x)的一个根，从而x +1是f (x)的因式，这里我们可以利用竖式除法，此时一般 将被除式按未知数的降幂排列，没有的补0：可得原式 =(2x2 一 3x 一 2)(x +1) = (x 一 2)(2x + l)(x +1)点评：观察，如果多项式f (x)的奇数次项与偶数次项的系数和互为相反数,则说明f (1) =
12、 0 ； 如果多项式的奇数次项与偶数次项的系数和相等，则说明 f (一1)=0.【巩固】分解因式：x6 + 2x5 + 3x4 + 4x3 + 3x2 + 2x +1解析:本题有理根只可能为1. +1当然不可能为根(因为多项式的系数全是正的)，经检验-1 是根，所以原式有因式x + 1，原式=(x + 1)(x 5 + x 4 + 2 x 3 + 2 x 2 + x + 1)容易验证 一1 也是x5 + x4 + 2x3 + 2x2 + x + 1 的根，x5 +x4 +2x3 +2x2 +x+1 =(x+1)(x4 +2x2 +1) =(x+1)(x2 +1)2， 所以x6 +2x5 +3x
13、4 +4x3+3x2 +2x+1 =(x+1)2(x2 +1)2【巩固】分解因式： x3 一 9x2 y + 26xy2 一 24 y3解析 :x3 一 9x2y + 26xy2 一 24y3 = (x 一 2y)(x 一 3y)(x 一 4y) 例8分解因式： x3 一 (a + b + c)x2 + (ab + bc + ca)x 一 abc【解析】常数项-abc的因数为a ，b，c，ab，bc，ca，abc把x = a代入原式，得a3 一 (a + b + c)a2 + (ab + bc + ca)a 一 abc = a3 一 a3 一 ba2 一 ca2 + a2b + abc + a
14、2c 一 abc = 0所以a是原式的根，x - a是原式的因式，并且x3 一 (a + b + c)x2 + (ab + bc + ca)x 一 abc=(x3 一 ax2) 一 (b + c)x2 一 a(b + c)x + (bcx 一 abc)=(x 一 a)x2 一 (b + c)x + bc = (x 一 a)(x 一 b)(x 一 c).【巩固】分解因式： (l + m) x3 + (3l + 2m 一 n) x2 + (2l 一 m 一 3n) x 一 2(m + n) 【解析】如果多项式的系数的和等于0，那么1 一定是它的根；如果多项式的偶次项系数的 和减去奇次项系数的和等于
15、0 ，那么一1一定是它的根现在正是这样：-(l + n) + (3l + 2m 一 n) 一 (2l 一 m 一 3n) 一 2(m + n) = 0所以x +1是原式的因式，并且(l + m) x3 + (3l + 2m 一 n) x2 + (2l 一 m 一 3n)x 一 2(m + n)=(l + m) x 3 + (l + m) x 2 + (2l + m 一 n) x 2 + (2l + m 一 n) x 一 2( m + n) x + 2(m + n)=(x + 1)(l + m) x 2 + (2l + m 一 n) x 一 2(m + n) = (x + 1)(x + 2)(lx + mx 一 m 一 n) 板块三：待定系数法如果两个多项式恒等，则左右两边同类项的系数相等.即，如果a xn + a xn-1 + a x-2 + + a x1 + a = b x + b x-1 + b x-2 + + bx1 + bnn-1n - 210 nn-1n210那么 a = b ， a = b ， a =
