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1、第8章季节性时间序列模型由于在日常生活中经常遇到季节性时间序列，因此我们为其单辟一章。在引入一些基本概念和常用模型之后，我们将自回归求和移动平均模型加以推广，用来描述季节时间序列。另外，为了说明该方法，我们还给出了详细例子。8.1基本概念许多商业和经济时间序列都包含有季节现象，即在一段时期后不断地对自身作有规律的重复。重复现象出现的最小时间间隔称为季节周期。例如，并吉林小玲的季度序列在夏季最高，序列在每年都重复这一现象，相应的季节周期为4。类似地，汽车的月度销量和销售额在每年7月和8月也趋于下降，因为这是经常更换新的车型。而玩具的月销售量在每年的12月增加。后两种情形的季节周期是12。季节现象
2、源于一些因素，如气候影响许多商业和经济活动，如旅游和房屋建筑；一些习惯性事件，如圣诞节就与珠宝、玩具、贺卡及邮票的销售密切相关；夏季几个月的毕业典礼直接关系到这几个月的劳动力状况。作为说明的例子，图8-1给出了1971-1981年美国月度就业人数，调查对象是美国16-19周岁的男性。序列的季节特性是明显的，在夏季几个月人数急剧增加，在学期结束的6月出现高峰，而在秋季学校开学后就下降了。这种现象每12个月重现一次，因而季节周期是12。500I20&JIDOQ-75QH123S总和平均Nz3乙乙M乙MrZriiT.2(n-l)*+3-e总和Tjt2.T3.Tn.TT/sZi.Zj.T/nT/ns表
3、&1季节时间序列的Bu-Ballot表Tj.=第牛李泯蛊和z.=Sfij牛李市甲均r=謝j關期想和2.,=带j周朝平均T-住部序刊总和8.2传统方法通常，时间序列被看做由趋势项（Pt），季节项（St）以及不规则分量（e）混合而成。如果这些分量被假定为是可加的，可以将时间序列乙写成Zt=Pt+St+et为了估计这些分量，文献中引入了一些分解方法。821回归方法在回归方法中，可加性时间序列可以写成下面的回归模型Zt=Pt+St+etkm八=0亠二JiUit亠二.-jVjt-et-jk其中P7。vim4:uit，Uit是趋势-循环变量；s=jVjt和Vjt是季节-y变量。例如，线性的趋势-循环分量P
4、t可以写成P=：0亠:it（）更一般地，循环-趋势分量可以写成关于时间的m次多项式：miP0id:it（）类似地，季节分量St可以表示为季节虚拟（示性）变量的线性组合，或表示成各种频率正弦-余弦函数的线性组合。例如，一个周期为s的季节序列可以写成sJS=2：0jDjt（）其中，如果t对应于季节的第j期，有Djt=1，对于其他情况就为0;注意，当季节周期为s时，我们只需要（s-1）个季节虚拟变量。换言之，令：0使得系数s（其中，j_s）表示在周期为s时第j期的季节影响。另一方面，St也可以写成sT）T）写成sT）T）(826)其中，s/2是s/2的整数部分。这类模型将在第11章讨论。于是，模型（
5、）成为ms4乙入vDjteHljms4乙入vDjteHlj或者ms/2=：0二十_二：“jsingjcos&过)eyjss)()对于给定数据集和特定的m和s的值，可用标准最小二乘回归方法得到参数S，BY&彳j和j的估计值i，j和j。Pt，St，和方程（）中的et的估计值可由下式给出：ma.R。亠二i-1)sJAS八Djtj4)和1乙PS；)对于方程（）可由下式给出mRfi)jcos(2sjt)和AAA)Q二Zt-R-S移动平均方法移动平均方法基于这样的假定：一个季节时间序列的年度总和中只有少量的季节变量，因此，令N；二FT-e；为序列的非季节变量，而非季节变量的估计可以用对称移动平均算子得到，
6、即)AmN；八乙其中，m为一正数，人为常数，且有人=人-i以及近=1。季节分量的估计可由原序列减去Nt得到，即AAS=Zt-Nt）前面的估计可以通过重复各种移动平均算子得到。利用移动平均方法的成功例子是人口普查局X-12方法，该方法被政府和工业企业广泛地采用。A被消除了季节影响的序列，即Zt-S，称为季节调整序列。因此，前述季节分解方法也是熟知的季节调整方法。人们普遍认为季节分量是有规律的特征，能够以合理的精度进行预报，所以政府和产业对于调整序列的季节性有着很大的兴趣。这一专题在这里只是简要的论及，感兴趣的读者可以参考由Zellner（1978）编辑的优秀的论文集。有关该专题最新的文章，主要有
7、Dagum（1980），Fierce（1980）,Hillmer和Tiao（1982），Bell和Hillmer（1984），以及Cupingood和Wei（1986）。8.3季节性ARIMA模型8.2节给出的传统方法基于季节分量是确定性的，且与其他非季节分量相独立。然而，许多时间序列并没有那么好的性质。更多的情况是季节分量可以是随机的，并且与非季节分量相关。本节我们将前一章讨论的ARIMA模型推广到季节时间序列。为了说明问题，我们考察美国1971-1981年1619岁男性的月度就业统计数字，Buys-Ballot表在表8-2中给出。该表显示就业统计数字不仅月与月相关，而且年与年也相关。因此，
8、为了对6月份的就业水平进行预报，我们不仅要考察相邻月份(如5月和7月)的就业水平，而且还要考察前几年6月份的就业水平。表8.2U.S.月度就业人(千人)统计戳字的Buys-BaUot乘年JeLR(MarBAir.Muy.JunoJulyAufi.Sep*Oct,Nov,r,总数平均LD7L7078D0644574anaWOSCO5S7837fMW7CM灿u197275883S7476)7554BIS7026106W”75删0710,71&73旳D651605592527SMB39SL15ua376S72蚪51782565Z119747147156725BB56710&70196S3771708
9、S2dB3590S3756,919759809699318S282813501218977&6383887711589965.71976100795190691181211721101900出1853922S86112S2938.5107789690276573512311052ass79075518207251CHS2873u5LOTS821831734036Ml9907507277fi4792SI797fil81X1197&AM書删733STBLODI爾777Tfil7097777T9738Sll.AIUAONW847774720X俯110034闻snoH川1Q0B3IO：CO9liHtk
10、ULL90:出吕M8S7LOL&11&48frais阳wsew79B67ftyausasS770S1HLIWT1ffilB9091,)7平均837.7851.8800.1ras690IOT5.21004.7797r2753a3743.7815.5BO1.S9917.6826.1-6通常Buys-Ballot表意味着乙？包含周期内部和周期之间的相关关系。周期内部的关系表示，Zt-2，Zt-1，Zt，乙+1，乙+2，之间的相关性。周期之间相关关系表示，Zt-2s,Zt-s，Zt，Zt+s，Zt+2s,之间的相关性。假设我们不知道乙？包含周期之间的季节性变化，而对序列拟合一个非季节性的ARIMA模型
11、，即p(B)(1-B)d乙q(B)bt()显然W不是白噪声序列，因为它包含未被解释的周期令：j(s)EQb)，j=162(季节)之间的相关关系。()是*的自相关函数，它描述了未解释的周期之间的相关关系。由此不难得到，周期之间的相关关系也能用ARIMA模型加以描述：p(Bs)(1-Bs)Dbtq(Bs)3()其中：p(Bs)=1iBS_G2B2s_川_Gp(BPs)并且飞（Bs）=1-0iBs-02B2s-|-Gg（BQs）这些Bs的多项式没有共同的根，且根都在单位圆之外，和是0均值的白噪声过程。为了说明问题，假设式（833）中P=1，s=12,D=0,Q=0,则12（1B）b=a（）若：=0.
12、9,的自相关函数成为讣12）=（0.9）j,如图8-2所示。0.8-0.60.20m3-0.8-1.0图8.2(l-.9Jla)&j=at的ACF类似地，若P=0,s=12,D=0,Q=1，则有)12bt=（1-L汨）at若Q=0.8，自相关函数成为-0.8.-（12）=1.64，JI0，J鬥如图8-3所示。结合式（）和式（）,我们可以得到著名的Box-Jenkins乘积季节ARIMA模型：)h（Bs）p（B）（1-B）d（1-Bs）D乙q（B）%（Bs）at其中乙DZt,other为方便起见，我们通常分别称-（B）和二（B）为常规的自回归和移动平均因pq*子（或多项式），分别称；（Bs）和科
13、（Bs）为季节性自回归和移动平均因子（或多项式）。式（836）中的模型一般记为ARIMA（p,d,q）*（P,D,Q）s,其中下标s为季节周期。例8-1我们考虑ARIMA（0,1,1）*（0,1,1）12,模型（1_B）（1_B12）Zt=（1_汨）（1_PB12）at（）人们发现这个模型是非常有用的，它可以描述大量的季节时间序列，如航空数据，交易序列等。该模型由Box和Jenkins首先引入来描述国际航空旅客数据，因而在文献中也称其为航线模型。令Wt二（1-B）（1-B12）Zt,则Wt的自协方差可以很容易地求出：0二(1)(10（1二2）8Q11一(1v2)(iB2)一13(9(iB)一=0，其他对于二=0.4和0=0.6时，匚在图8-4给出)寻-(V02a1112 -七(1T)寻)13 -松匚2j=0，其他因此，ACF是的ACF一般的ARIMA模型更一般地，我们可以写出一般的ARIMA模型如下：MKdiN丨j(B)i【1-Bs広。【入(B)at(8310)j=4i4kT因此，该模型可以包含K个差分因子，M个
