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1、精品精品资料精品精品资料第三讲柯西不等式与排序不等式1能够利用柯西不等式求一些特定函数的最值2认识柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义(1)柯西不等式向量形式：|.(2)(a2b2)(c2d2)(acbd)2.来源:学,科,网(3) (通常称作平面三角不等式)3用参数配方法讨论柯西不等式的一般情况：n,i1an,i1b(n,i1aibi)2.4用向量递归方法讨论排序不等式,1在本讲教学中，教师应引导学生了解重要的不等式都有深刻的数学意义和背景，例如本讲给出的不等式大都有明确的几何背景学生在学习中应该把握这些几何背景，理解这些不等式的实质2准确记忆柯西不等式的向量形式以及其他几何形式，深
2、刻理解其几何意义，综合提升数学应用能力31二维形式的柯西不等式1利用柯西不等式证明不等式2能够利用柯西不等式求一些特定函数的最值3认识二维形式的柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义1定理1(二维形式的柯西不等式的代数形式)：设a，b，c，d均为实数，则_，其中等号当且仅当_时成立答案：(a2b2)(c2d2)(acbd)2adbc2定理2(柯西不等式的向量形式)：设，为两个平面向量，则_，其中等号当且仅当两个向量_时成立答案：|方向相同或相反(即两个向量共线)思考1几何意义：设，为平面上以原点O为起点的两个非零向量，它们的终点分别为A(a，b)，B(c，d)，那么它们的数量积_，而|，
3、|，所以柯西不等式的几何意义就是_，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反(即两个向量共线)时成立答案：acbd|3定理3(三角形不等式)：设x1，y1，x2，y2，x3，y3为任意实数，则_答案：思考2设a，b，c，d，m，n都是正实数，P，Q，则P与Q的大小关系是_解析：由柯西不等式，得PQ，PQ.答案：PQ 1已知a，bR，a2b24，则3a2b的最大值为()A4 B2 C8 D9答案：B2设x，y，m，n0，且1，则uxy的最小值是()A()2 B.Cmn D(mn)2答案：A3已知a，b0，且ab1，则的最小值为_来源:学+科+网解析：(ab)()2()2.答案：4若3x4y2，求x
4、2y2的最小值及最小值点解析：由柯西不等式有(x2y2)(3242)(3x4y)2，得25(x2y2)4，x2y2，当且仅当时等号成立，为求最小值点，需解因此，当x，y时，x2y2的最小值为，最小值点为.5若直线1通过点M(cos ，sin )，则()Aa2b21 Ba2b21C.1 D.1答案：D6函数y2的最大值为_答案：37已知2x2y21，则2xy的最大值是_答案：8已知x，yR，且xy1，则的最小值为()A4 B2 C1 D.答案：A来源:Z#xx#k.Com9已知ab1，求证：a2b21.证明：由柯西不等式，得(ab)2a2(1a2)b2(1b2)1.当且仅当时，上式取等号，ab，
5、a2b2(1a2)(1b2)于是a2b21.10设ab，求证：a8b8.证明：a8b8(1212)(a4)2(b4)2(1a41b4)2(a4b4)2(1212)(a2)2(b2)22(1a21b2)2(a2b2)2(ab)2.原不等式成立11在半径为R的圆内，求周长最大的内接长方形解析：如图，设内接长方形ABCD的长为x，则宽为，于是长方形ABCD的周长l2(x)2(1x1)，由柯西不等式有l2x2()2(1212)22R4R，等号成立xR，此时宽为R，即长方形ABCD为正方形，故周长最大的内接长方形为正方形，其周长为4R.来源:学*科*网来源:Zxxk.Com1二维形式的柯西不等式是柯西不等式的最简单形式，学习柯西不等式时要注意它的几种形式间是等价的，也要关注结构形式的变化对数值的要求2理解柯西不等式，就要认真理解代数推导过程和向量形式、三角形式的推导过程，并从形和数两方面来理解和记忆另外，对等号“”取到的条件是要从推导过程来理解的最新精品资料
