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1、微分方程模型）1D一个半球状雪堆，其体积融化的速率与半球面面积S成正比，比例系数k0。设融化中雪堆始终保持半球状，初始半径为R03小时中融化了总体积的7/8,问雪堆全部融化还需要多长时间？2从致冰厂购买了一块立方体的冰块，在运输途中发现，第一小时大约融化了1/4（1）求冰块全部融化要多长时间（设气温不变）（2）如运输时间需要2.5小时，问：运输途中冰块大约会融化掉多少？3D一展开角为a的圆锥形漏斗内盛着高度为H的水，设漏斗底部的孔足够大（表面张力不计），试求漏斗中的水流光需要多少时间？4D容器甲的温度为60度，将其内的温度计移入容器乙内，设十分钟后温度计读数为70度，又过十分钟后温度计读数为7
2、6度，试求容器乙内的温度。5D一块加过热的金属块初始时比室温高70度，20分钟测得它比室温高60度，问：（1）2小时后金属块比室温高多少？（2）多少时间后，金属块比室温高10度？6D设初始时容器里盛放着含净盐10千克的盐水100升，现对其以每分钟3升的速率注入清水，容器内装有搅拌器能将溶液迅时搅拌均匀，并同时以每分钟2升的速率放出盐水，求1小时后容器里的盐水中还含有多少净盐？0.5v,该伞降兵的初始下落速度为0，经8秒钟后降落伞打开，降落伞打开后的空气阻力约为0.6/试球给伞降兵下落的速度v（t）,并求其下落的极限速度。7D某伞降兵跳伞时的总质量为100公斤（含武器装备），降落伞张开前的空气阻
3、力为8D1988年8月5日英国人MikeMcCarthy创建了一项最低开伞的跳伞纪录，它从比萨斜塔上跳下，到离地179英尺时才打开降落伞，试求他落地时的速度。g9D证明对数螺线r=Aw虑上任一处的切线与极径的夹角空的正切为一常数，10D实验证明，当速度远低于音速时，空气阻力正比与速度，阻力系数大约为0.005。现有一包裹从离地150米高的飞机上落下，（1）求其落地时的速度（2）如果飞机高度更大些，结果会如何，包裹的速度会随高度而任意增大吗？11D生态学家估计人的内禀增长率约为0.029，已知1961年世界人口数为30.6亿（3.06DW9叮当时的人口增长率则为0.02。试根据Logistic模
4、型计算：（1）世界人口数的上限约为多少（2）何时将是世界人口增长最快的时候？12D早期肿瘤的体积增长满足MalthusODD人V,其中A为常数）,Ddt1）求肿瘤的增倍时间O。根据统计资料，一般有O亡（7,465）（单位为天），肺部恶性肿瘤的增倍时间大多大于700000465天（发展太快与太慢一般都不是恶性肿瘤），故O是确定肿瘤性质的重要参数之一（2）为方便起见，医生通常用肿瘤直径来表示肿瘤的大小，试推出医生用来预测病人肿瘤直径增大速度的公式d=q声13D正常人身上也有癌细胞，一个癌细胞直径约为10m,重约0.00冲g.,（1）当患者被查出患有癌症时，通常直径已有1cm以上（即已增大1000倍
5、），由此容易算出癌细胞转入活动期已有3000,故如何在早期发现癌症是攻克癌症的关键之叮2）手术治疗常不能割去所有癌细胞，故有时需进行放射疗法。射线强度太小无法杀死癌细胞,一次照射不可能杀死全部癌细胞,请个时即可凭借体内免疫系太强病人身体又吃不消且会使病人免疫功能下降。设计一个可行的治疗方案（医生认为当体内癌细胞数小于统杀灭。14D设药物吸收系数七1Ck为药物的分解系数），对口服或肌注治疗求体内药物浓度的峰值（峰浓度）级达峰时间。15医生给病人开药时需告诉病人服药的剂量和两次服药的间隔时间,服用的剂量过大会产生副作用甚至危险,服用的剂量过小又达不到治疗的目的,例如,为有效杀死病菌，体内药物浓度应
6、达到A,试分析这一问题并设计出一种病人服药的方法。16D在法国著名的Lascaux洞穴中保留着古代人类遗留下来的壁画。从洞穴中取出的木炭在1950年做过检测,测得碳14的衰减系数为每克每分钟0.97个,已知碳14的半衰期为5568年,试求这些壁画的年龄（精确到百年）。172000年在美国伊利诺斯中部发现了一块古化石骨头,经测定其碳14仅为原有量的14%,试计算该动物大约生活在什么时候。181956年我国在西北某地发现了一处新石器时代的古墓,从该墓中发掘到的文物的每克每分钟衰减数为3.06个，试确定该古墓的年代。19实验测得一克镭在一年中会衰变掉0.44毫克,据此你能推算出镭的半衰期吗？20根据
7、化学知识,溶液中两种物质起反应生成新物质时,反应速度与当前两物质剩余量的乘积成正比。设初始时刻溶液中两种物质的数量分别为A和B,两物质反应的质量之比为a:b，求t时刻溶液中生成物的数量x（t）。21牛顿发现在温差不太大的情况下,物体冷却的速度与温差成正比。现设正常体温为36.5乜，法医在测量某受害者尸体时测得体温约为32度，一小时后再次测量，测的体温约为30.5度,试推测该受害者的受害时间。22D已知铀238的半衰期为4.5110年，已测出某颜料每克白铅中铀238的分解数为100个/每分钟，试计算：（1）每克白铅中有多少铀238分子（2）铀在这种白铅中所占的百分比有多大？23D人们普遍认为新产
8、品的畅销期为x（t）位于0.2K至0.8K之间，试求新产品畅销期的持续时间长度。24某人每天由饮食获取2500大卡的热量，其中新陈代谢约需1200大卡，每公斤体重约需运动消耗16大卡，其余热量则转化为脂肪，每公斤脂肪相当于10000大卡，求此人体重的增长公式及极限体重。25D由于各级火箭的质量不同，入应当是不同的。请对三级火箭求出最优设计。26D在20030000Sars非典型性肺炎）流行期间，我国政府采取了严格的隔离政策，试建一模型研究这一问题。27医生发现，麻疹有以下明显特征：（1）潜伏期大约为1/2周，在潜伏期内的孩子从表面上看完全是正常的，但他（她）却会把疾病传染给别的孩子，一旦患病症
9、状出现，孩子就会被隔离且病愈后具有免疫能力（2）麻疹发病有周期性现象，一般来讲会隔0较严重一些。考虑这两个特征并选用适当的参数建模，使结果大致有1/2周的潜伏期及大约两0的周期性。28人工肾的功能大体如下：它通过一层薄膜与需要带走废物的血管相通。人工肾里流动着某种液体，流动方向与血液在血管中的流动方向相反，血液中的废物通过薄膜渗透到人工肾中流动的液体里，试建立模型来描写这一现象。29自治系统平衡点的稳定性也可利用等斜线来讨论。例如，对（3.23）曲线=0和可以证明：任一轨线都必垂直地穿过f的等斜线而水平地穿过g的等斜线。利用这一点画出P-P模型平衡点周围的轨线。害=工_眄_见）30D乎=x2（h2十眄必是某一捕食系统的数学模型，其中食系统，证明：不管开始时食饵兀1多么丰富，捕食种群最终必将绝灭。31大鱼只吃小鱼、小鱼只吃虾米，试建模研究这一捕食系统。在求解你的模型时也许你会遇到困难，建议对模型中的参数取定几组值，用数值解方法处理，并研究结果关于参数取值的敏感性。32香烟的过滤嘴有多大作用？与使用的材料和长度关系如何？请自己建模分析这一问题，（清华大学姜启源教授的“数学模型”书第二版上有这一模型，建模后读者可以将你建立的模型与那里给出的模型作一比较，看看你自己的模型建得如何）。
