二次函数应用题分类与解析

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1、二次函数应用题分类解析二次函数是初中学段的难点，学生学起来觉的比较的吃力，可以把应用问题进行分类：第一类、运用待定系数法对于题目明确给出两个变量间是二次函数关系，并且给出几对变量值，规定求出函数关系式，并进行简朴的应用。解答的核心是纯熟运用待定系数法，精确求出函数关系式。例1 某公司生产的A种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售量为100万件，为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告。根据经验，每年投入的广告费是x（十万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y是x的二次函数，它们的关系如下表：x（十万元）012y11.51.8（1）求y与x的函数关系式；（2）如果把利润看作是

2、销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S（十万元）与广告费x（十万元）的函数关系式；（3）如果投入的年广告费为1030万元，问广告费在什么范畴内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？析解：（1）由于题中给出了y是x的二次函数关系，因此用待定系数法即可求出y与x的函数关系式为（2）由题意得S=10y(3-2)-x（3）由（2）及二次函数性质知，当1x2.5，即广告费在1025万元之间时，S随广告费的增大而增大。二、分析数量关系型题设结合实际情景给出了一定数与量的关系，规定在分析的基本上直接写出函数关系式，并进行应用。解答的核心是认真分析题意，对的写出数量关系式。例2 某化工材料经销公司购进了

3、一种化工原料共7000公斤，购进价格为每公斤30元。物价部门规定其销售单价不得高于每公斤70元，也不得低于30元。市场调查发现：单价定为70元时，日均销售60公斤；单价每减少1元，日均多售出2公斤。在销售过程中，每天还要支出其他费用500元（天数局限性一天时，按成天计算）。设销售单价为x元，日均获利为y元。（1）求y有关x的二次函数关系式，并注明x的取值范畴；（2）将（1）中所求出的二次函数配方成的形式，写出顶点坐标；在图2所示的坐标系中画出草图；观测图象，指出单价定为多少元时日均获得最多，是多少？（3）若将这种化工原料所有售出，比较日均获利最多和销售单价最高这两种销售方式，哪一种获总利较多，

4、多多少？析解：（1）若销售单价为x元，则每公斤减少（70-x）元，日均多售出2（70-x）公斤，日均销售量为60+2(70-x)公斤，每公斤获利为(x-30)元。根据题意得（30x70）。（2）。顶点坐标为（65，1950），草图略，当单价定为65元时，日均获利最多，是1950元。（3）列式计算得，当天均获利最多时，可获总利195000元；当销售单价最高时，可获总利221500元。故当销售单价最高时获总利较多，且多获利22=26500元。三、建模型即规定自主构造二次函数，运用二次函数的图象、性质等解决实际问题。此类问题建模规定高，有一定难度。例3如图4，有一块铁皮，拱形边沿呈抛物线状，MN=4

5、dm，抛物线顶点处到边MN的距离是4dm，要在铁皮上截下一矩形ABCD，使矩形顶点B、C落在边MN上，A、D落在抛物线上，问这样截下去的矩形铁皮的周长能否等于8dm？析解：由“抛物线”联想到二次函数。如图4，以MN所在的直线为x轴，点M为原点建立直角坐标系。设抛物线的顶点为P，则M（0，0），N（4，0），P（2，4）。用待定系数法求得抛物线的解析式为。设A点坐标为（x，y），则AD=BC=2x-4，AB=CD=y。于是。且x的取值范畴是0x4（x2）。若l=8，则，即。解得。而0x4（x2）。故l的值不也许取8，即截下的矩形周长不也许等于8dm。注：本题还可在其他位置建立直角坐标系。例4.某

6、环保器材公司销售一种市场需求较大的新型产品,已知每件产品的进价为40元,经销过程中测出销售量y(万件)与销售单价x(元)存在如图所示的一次函数关系,每年销售该种产品的总开支z(万元)(不含进价)与年销量y(万件)存在函数关系z=10y+42.5.(1)求y有关x的函数关系式;(2)度写出该公司销售该种产品年获利w(万元)有关销售单价x(元)的函数关系式;(年获利=年销售总金额-年销售产品的总进价-年总开支金额)当销售单价x为什么值时,年获利最大?最大值是多少?(3)若公司但愿该产品一年的销售获利不低于57.5万元,请你运用(2)小题中的函数图象协助该公司拟定这种产品的销售单价的范畴在此条件下要

7、使产品的销售量最大,你觉得销售单价应定为多少元?.解:(1)由题意,设y=kx+b,图象过点(70,5),(90,3),解得y=x+12.3分(2)由题意,得w=y(x-40)-z=y(x-40)-(10y+42.5)=(x+12)(x-10)-10(x+12)-42.5=-0.1x2+17x-642.5=(x-85)2+80.当85元时,年获利的最大值为80万元. 6分(3)令w=57.5,得-0.1x2+17x-642.5=57.2.整顿,得x2-170x+7000=0.解得x1=70,x2=100.由图象可知,要使年获利不低于57.5万元,销售单价应在70元到100元之间.又由于销售单价

8、越低,销售量越大,因此要使销售量最大,又使年获利不低于57.5万元,销售单价应定为70元.10分四：利润最大(小)值问题知识要点：二次函数的一般式()化成顶点式，如果自变量的取值范畴是全体实数，那么函数在顶点处获得最大值（或最小值）即当时，函数有最小值，并且当，；当时，函数有最大值，并且当，如果自变量的取值范畴是，如果顶点在自变量的取值范畴内，则当，如果顶点不在此范畴内，则需考虑函数在自变量的取值范畴内的增减性；如果在此范畴内随的增大而增大，则当时，当时，；如果在此范畴内随的增大而减小，则当时，当时，商品定价一类利润计算公式：常常浮现的数据：商品进价；商品售价1；商品销售量；商品售价2；商品定

9、价；（商品调价）；商品销售量1；销售量变化率;其她成本。u 单价商品利润=商品定价商品售价1u （价格变动量）=商品定价商品售价2（或者直接等于商品调价）；u 销售量变化率=销售变化量引起销售量变化的单位价格；u 商品总销售量=商品销售量1销售量变化率；u 总利润（W）=单价商品利润总销售量其她成本u例1：求下列二次函数的最值：（1）求函数的最值例2：某商品目前的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才干使利润最大？练习：1某商店购进一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销

10、售，那么半个月内可以售出400件根据销售经验，提高单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件如何提高售价，才干在半个月内获得最大利润？实际问题与二次函数习题精选及解析填空题：1当炮弹从炮口以30角射出后，飞行高度h(米)与飞行时间t(秒)之间的函数关系式是h=v0t5t2，其中v0是炮弹发射的初速度，当v0=300米/秒时，炮弹飞行的最大高度是_。答案：1125米。阐明：把v0=300代入h=v0t5t2得h=150t5t2，由公式得h最大=1125米。2王师傅想在一块三角形剩料中挖取一块最大矩形料做其她用途，其图形和数据如图所示，请你计算王师傅所获得最大矩形料的面积_

11、，这时CE=_，CF=_。答案：m2，m，m。阐明：设CF=x，则BF=1x，BD=2(1x)，FD=(1x)，S矩形FCED=(1x)x=x2+x=(x)2+。S矩形FCED最大为m2，这时CF=m，CE=m。解答题：1某旅社有客房120间，每间房间的日租金为50元，每天都客满，旅社装修后，要提高租金。经市场调查，如果1间客房的日租金每提高5元，则客房每天出租数会减少6间。不考虑其她因素，旅社将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？比装修前的日租金总收入增长多少元？分析：这是函数知识在平常生活中的实际应用题，本题中各量之间的等量关系为：每天客房日租金的总收入=每间客房的日租

12、金客房每天出租的间数。解：设每间客房的日租金提高x个5元(即5x元)，则每天客房出租数会减少6x间，根据题意可得y=(50+5x)(1206x)，即y=30(x5)2+6750。当x=5时，y最大=6750。这时每间客房日租金为50+55=75(元)，客房日租金的总收入最高，为6750元。装修前的日租金12050=6000(元)，675012050=750(元)。故将每间客房的日租金提到75元时总收入最高，比装修前的日租金总收入增长750元。2某商场经销一种销售成本为每公斤40元的水产品；据市场调查，若按每公斤50元销售，一种月能销售出500公斤，销售单价每涨1元，月销售量下降10公斤，针对这

13、种水产品的销售状况，请摸索如下问题：(1)当销售单价定为每公斤55元时，月销售利润为多少？(2)设月销售单价为每公斤x元，月销售利润为y元，写出y与x之间的函数关系式。解：(1)月销售利润为：500(5550)10(5540)=6750(元)(2)y=500(x50)10(x40)，即y=10x2+1400x40003火车进站刹车滑行的距离s(单位：m)与滑行时间t(单位：s)的函数关系式是s=30t1.5t2；火车离站台多远开始刹车，才干使火车票刚好停在站台位置上？解：由s=30t1.5t2得s=(t10)2+150因此当t=10时，s最大=150因此当火车从离站台150米处开始刹车，火车才

14、干刚好在站台停下。4南博汽车城销售某种型号的汽车，每辆进货价为25万元；市场调研表白，当销售价为29万元时，平均每周能售出8辆，而销售价每减少0.5万元时，平均每周能多售出4辆；设每辆汽车降价x万元，每辆汽车的销售利润为y万元。(1)求y与x的函数关系式，在保证商家不亏本的前提下，写出x的取值范畴；(2)假设这种汽车平均每周的销售利润为z万元，试写出z与x之间的函数关系式；(3)当每辆汽车的定价为多少万元时，平均每周的销售利润最大？最大利润是多少？解：(1)y=2925x=x+4(0x4)(2)z=(8+4)y=(8x+8)(x+4)=8x2+24x+32(3)由z=8x2+24x+32，配方

15、得z=8(x)2+50因此当x=时，z最大=50因此当定价为291.5=27.5(万元)时，有最大利润，最大利润为50万元。5小店张老板批发进货，其中有一种商品进价为每件9元，按每件15元发售，每天可销售40件；目前她想采用降价促销的措施来增长利润，已知这种商品每件每降价1元，日销售量就增长10件，那么她把售价定为多少时，才干使每天获利最大？每天最大利润是多少？解：设降价x元，则零售价为(15x)元，日销量为(40+10x)件设每日利润为y元，则由题意得：y=(15x9)(40+10x)=10x2+20x+240，配方得y=10(x1)2+250因此当x=1时，y最大=250，这时15x=14因此把售价定为每件14元时，每天获利最大，最大利润是250元。6在黄州服装批发