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1、2010高三数学总复习讲义向量知识清单一、向量的有关概念1.向量:既有大小又有方向的量叫做向量.向量的大小叫向量的模(也就是用来表示向量的有向线段的长度).2.向量的表示方法:字母表示法:如等.几何表示法:用一条有向线段表示向量.如,等.坐标表示法:在平面直角坐标系中,设向量的起点O为在坐标原点,终点A坐标为,则称为的坐标,记为=.注:向量既有代数特征,又有几何特征,它是数形兼备的好工具.3.相等向量:长度相等且方向相同的向量.向量可以自由平移,平移前后的向量相等.两向量与相等,记为.注:向量不能比较大小,因为方向没有大小.4.零向量:长度为零的向量叫零向量.零向量只有一个,其方向是任意的.5
2、.单位向量:长度等于1个单位的向量.单位向量有无数个,每一个方向都有一个单位向量.6.共线向量:方向相同或相反的非零向量,叫共线向量.任一组共线向量都可以移到同一直线上.规定:与任一向量共线.注:共线向量又称为平行向量.7.相反向量: 长度相等且方向相反的向量.二、向量的运算(一)运算定义向量的加减法，实数与向量的乘积，两个向量的数量积,这些运算的定义都是 “自然的”，它们都有明显的物理学的意义及几何意义. 其中向量的加减法运算结果仍是向量，两个向量数量积运算结果是数量。研究这些运算,发现它们有很好地运算性质,这些运算性质为我们用向量研究问题奠定了基础,向量确实是一个好工具.特别是向量可以用坐
3、标表示,且可以用坐标来运算,向量运算问题可以完全坐标化. 刻划每一种运算都可以有三种表现形式：图形、符号、坐标语言。主要内容列表如下：运 算图形语言符号语言坐标语言加法与减法+=记=(x1,y1),=(x1,y2)则=(x1+x2,y1+y2)=（x2-x1,y2-y1）+=实数与向量的乘积=R记=(x,y)则=(x,y)两个向量的数量积记则=x1x2+y1y2(二)运算律加法：(交换律); (结合律)实数与向量的乘积：; ;两个向量的数量积: =; ()=()=();(+)=+注：根据向量运算律可知，两个向量之间的线性运算满足实数多项式乘积的运算法则，正确迁移实数的运算性质可以简化向量的运算
4、，例如()2=(三)运算性质及重要结论平面向量基本定理:如果是同一平面内两个不共线的向量,那么对于这个平面内任一向量,有且只有一对实数,使，称为的线性组合。其中叫做表示这一平面内所有向量的基底;平面内任一向量都可以沿两个不共线向量的方向分解为两个向量的和,并且这种分解是唯一的.这说明如果且,那么.当基底是两个互相垂直的单位向量时,就建立了平面直角坐标系,因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础.向量坐标与点坐标的关系：当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标，即若A(x，y)，则=（x,y）；当向量起点不在原点时，向量坐标为终点坐标减去起点坐标，即若A（x1,y1），B（x2,y2
5、），则=(x2-x1,y2-y1)两个向量平行的充要条件符号语言：坐标语言为：设非零向量,则(x1,y1)=(x2,y2)，即,或x1y2-x2y1=0, 在这里,实数是唯一存在的,当与同向时,0；当与异向时,0。|=,的大小由及的大小确定。因此,当,确定时，的符号与大小就确定了.这就是实数乘向量中的几何意义。两个向量垂直的充要条件符号语言：坐标语言：设非零向量，则两个向量数量积的重要性质： 即 (求线段的长度);(垂直的判断); (求角度)。以上结论可以(从向量角度)有效地分析有关垂直、长度、角度等问题,由此可以看到向量知识的重要价值.注:两向量,的数量积运算结果是一个数(其中),这个数的大
6、小与两个向量的长度及其夹角的余弦有关. 叫做向量在方向上的投影（如图）.数量积的几何意义是数量积等于的模与在方向上的投影的积.如果,则=,这就是平面内两点间的距离公式.课前预习1在中，（ ） 2.平面内三点,若，则x的值为()(A)-5 (B)-1 (C)1 (D)53. 设， 是任意的非零平面向量，且相互不共线，则：()()=0|-|()()不与垂直(3+2)(32)=9|2- 4|2中，真命题是( )(A) (B) (C) (D)4. OAB中,=,=,=,若=，tR，则点P在( )(A)AOB平分线所在直线上 (B)线段AB中垂线上(C)AB边所在直线上 (D)AB边的中线上5. 正方形
7、对角线交点为M，坐标原点O不在正方形内部，且=（0，3），=（4，0），则=( )(A)（） (B)（） (C)（7，4） (D)（）6.已知,则实数x=_.7.已知则_, _,与的夹角的余弦值是_.8在中, ,若,则= .； 9. 已知的三个顶点分别为求的大小.10. 已知ABC中，A（2，-1），B（3，2），C（-3，-1），BC边上的高为AD，求点D和向量坐标。11.在OAB的边OA、OB上分别取点M、N，使|=13，|=14，设线段AN与BM交于点P，记= ，=，用 ，表示向量.典型例题一、平面向量的实际背景与基本概念 B AC O F D E图1EG1.如图1，设O是正六边形的中心
8、，分别写出图中与、相等的向量。变式1：如图1，设O是正六边形的中心，分别写出图中与、共线的向量。 B AC O F D E 图2解：变式2：如图2，设O是正六边形的中心，分别写出图中与的模相等的向量以及方向相同的向量。解：二、平面向量的线性运算EG2. D CA B如图，在平行四边形ABCD中，a ，b ，你能用a，b表示向量 ，吗？变式1：如图，在五边形ABCDE中，a ，b ，c ，d ， D E C A B试用a ，b ， c ， d表示向量和. D C OA B变式2：如图，在平行四边形ABCD中，若，a ，b则下列各表述是正确的为（ ）A B Ca + b D(a + b)变式3：已
9、知=a，=b, =c,=d, 且四边形ABCD为平行四边形，则（ ）A. a+b+c+d=0 B. ab+cd=0C. a+bcd=0 D. abc+d=0变式4：在四边形ABCD中，若，则此四边形是()A平行四边形B菱形C梯形 D矩形变式5：已知a、b是非零向量，则|a|=|b|是(a+b)与(ab)垂直的（ ）A充分但不必要条件 B必要但不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件变式6：在四边形ABCD中，=a+2b，=4ab，=5a3b，其中a、b不共线，则四边形ABCD为（ ）A.平行四边形B.矩形C.梯形D.菱形变式7：已知菱形ABCD，点P在对角线AC上（不包括端点A、C），则等（
10、 ）A.(+),(0,1) B.(+),(0,)C.(),(0,1)D.(),(0,)变式8：已知D、E、F分别是ABC的边BC、CA、AB的中点，且=，=，=,则下列各式：= = + = + +=其中正确的等式的个数为（ ）A.1 B.2 C.3 D.4EG3 ba如图，已知任意两个非零向量a 、b ，试作a + b，a + 2b，a + 3b，你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗？为什么？变式1：已知a + 2b，2a + 4b，3a + 6b (其中a 、b是两个任意非零向量) ，证明：A、B、C三点共线证明：a + 2b，2a + 4b， 所以，A、B、C三点共线变式2：已知点A、B
11、、C在同一直线上，并且a + b，a + 2b，a + 3b (其中a 、b是两个任意非零向量) ，试求m、n之间的关系EG4.已知四边形ABCD，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，求证：变式1：已知任意四边形ABCD的边AD和BC的中点分别为E、F， D C E FA B求证：.三、平面向量的基本定理及坐标表示EG4.已知a = (4，2)，b = (6，y)，且a / b ，求 y 变式1：与向量a = (12，5) 平行的单位向量为（ ）A BC 或 D 或变式2：已知a，b，当a+2b与2ab共线时，值为 （ ）A1 B2 C D变式3：已知A(0,3) 、B(2,0
12、) 、C(1,3) 与方向相反的单位向量是( )A(0,1) B(0,1) C (1,1) D(1,1) 变式4：已知a = (1，0)，b = (2，1) 试问：当k为何实数时， kab与a+3b平行, 平行时它们是同向还是反向？ EG5.设点P是线段上的一点，、的坐标分别为，(1) 当点P是线段上的中点时，求点P的坐标；(2) 当点P是线段的一个三等分点时，求P的坐标变式1：已知两点，则P点坐标是 （ ）OAPQBabA B C D变式2：如图，设点P、Q是线段AB的三等分点，若a，b，则 ， (用a、b表示)四、平面向量的数量积EG6.已知|a|6，|b| 4且a与b的夹角为，求 (a + 2b)(ab) 变式1：已知那么与夹角为A、 B、 C、 D、变式2：已知向量a和b的夹角为60，| a | 3，| b |
