《2014高三数学二轮复习一题多解专题四利用正(余)弦定理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2014高三数学二轮复习一题多解专题四利用正(余)弦定理（3页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、题多解专题四：利用正(余)弦定理判断三角形形状判定三角形形状通常有两种途径:是通过正弦定理和余弦定理，化边为角(如：a=2Rsi nA，a2 b2 c2 = 2ab cosC等)，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系如：sin A= sin B? A = B ; sin(A B) = 0? A = B ; sin 2A = sin 2B? A = B 或 A+B二是利用正弦定理、余弦定理化角为边，如代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断2R,cos A =b2 c-a22bc通过#例：在 ABC中，已知角 A , B , C所对的边分别是
2、a,b,c,若(a+b+c)(a+b-c)=3ab，且2cos Asin B=sin C，试判断 ABC 的形状.思路一：根据条件，判断三角形三边的关系，此时需要化角为边；思路二：可以把角和边巧妙地结合起来，同时考虑边之间的关系，角之间的关系方法一：由正弦定理得 sin C c2cos Asin B=sin C ,sin B bcosA=2SCr2;，由余弦定理的推论得cos A =b2 c2bcb2 c-a22bc2b化简得 b2 c2 _ a2 = c2，二 a=b；2 2又 (a+b+c)(a+b-c)=3ab (a b)c = 3ab ,化简得4b2 - c2 = 3b2，二b=c,.
3、 a=b=c,即厶ABC是等边三角形方法二：T A+B+C=n，二 sin C=si n( A+B)，又 2cos As in B=sin C ,/ 2cos Asin B=sin(A+B) ,/ 2cos Asin B=sin Acos B+cos Asin B ,/ sin Acos B-cos Asin B=0，二 sin(A-B)=0 ,/ A,B (0, n，二 A-B (- n n ,二 A=B ,又 T (a+b+c)(a+b-c)=3ab , (a b)2 - c2 二3ab，即 a2 b2 - c2 二 ab ,由余弦定理的推论得cosC =2 , 2 2a b -c2aba
4、b2ab_ n又C (0, n) C ，又A=B , ABC是等边三角形.3规律总结：应用正弦定理进行判断或证明的方法： 判断三角形的形状实质是判断三角形的三边或三角具有怎样的关系； 利用正弦定理化边为角或化角为边，以实现边角的统一，便于寻找三边或三角具有的 关系； 判断三角形的形状的常见结果有等腰三角形、等边三角形、直角三角形或等腰直角三 角形针对性练习：1. 在厶ABC中，若a2tan B=b 2tan A，试判断厶ABC的形状.【解析】法一：由正弦定理及已知，得sin 2A 竺B =sin 2B 竺A ,cos Bcos A即 sin Acos A=sin Bcos B , sin 2A
5、=sin 2B./ 02A,2B2 n , 2A+2B2冗; 2A=2B 或 2A=n -2B.即 A=B或 A+B.2所以，三角形ABC是等腰三角形或直角三角形 .法二：在得到sin 2A=sin 2B 后，也可以化为 sin 2A-sin 2B=0, 2cos(A+B)sin(A-B)=0, cos(A+B)=0 或 sin(A-B)=0./ 0A+Bn ，且-n A-B n , A+B或 A-B=0,2即A+B=或A=B.ABC是等腰三角形或直角三角形.22. 在 ABC中，若 B = 60 2b= a+ c,试判断 ABC的形状.【解析】方法一：由正弦定理，得2sin B=sin A+si n C./ B = 60 A+C = 120 :即 A = 120。一 C,代入上式，得2sin 60 =sin(120 -C)+sin C展开，整理得： sin(C+30 )=1, C+30=90 -C= 60故A = 60 ABC为正三角形.方法二：由余弦定理，得 b2二a2 c2 -2accosB ,a*Ca c 2224t B=60 b, ()=a c -2accos60 ,2 22整理，得(a-c) =0 , a=c.从而a= b = c , ABC为正三角形.
