二次函数的相关问题

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1、二次函数的相关问题 二次函数的解析式有三种形式：（1） 一般式 当 时图象开口向上， 时开口向下；顶点坐标是 ；对称轴方程是 ;当 时与x轴交于相异两点， 时与x轴相切， 时与x轴无交点;与y轴交点坐标是 .（2）顶点式 (其中(h,k)是抛物线的顶点）（3）交点式 (其中x1、x2是抛物线与x轴交点的横坐标)解题时究竟选用哪种形式，要根据具体条件来决定 例1 已知抛物线与x轴交于A(-1，0)、B(1，0)，并经过M(0，1)，求抛物线的解析式分析： 本题可以利用抛物线的一般式来求解，但因A(-1，0)、B(1，0)是抛物线与x轴的交点，因此有更简捷的解法如果抛物线yax2bxc与x轴(即y

2、=0)有交点(x1，0)，(x2，0)那么显然有 x1、x2是一元二次方程ax2bxc=0的两个根因此，有ax2+bxc=a(x-x1)(x-x2)抛物线的解析式为 y=a(x-x1)(x-x2) 对于本例利用交点式来解则更为方便解： 例2 由图象写出二次函数的解析式分析：看图时要注意特殊点例如顶点，图象与坐标轴的交点解：例3 根据下列条件求二次函数解析式(1)若函数有最小值-8，且abc=12(-3)(2)若函数有最大值2，且过点A(-1，0)、B(3，0)(3)若函数当x-2时y随x增大而增大(x-2时，y随x增大而减小)，且图象过点(2，4)与y轴交与点(0，-2)分析：(1)由abc=

3、12(-3)可将三个待定系数转化为求一个k即设a=k，b=2k，c=-3k(2)由抛物线的对称性可得顶点是(1，2)(3)由函数性质知对称轴是x=-2解：例4 已知抛物线y=ax2bxc与x轴相交于点A(-3，0)，对称轴为x=-1，顶点M到x轴的距离为2，求此抛物线的解析式分析：此例题给出了三个条件，但实际上要看到此题还有隐含条件，如利用A点关于对称轴x=-1对称的对称点A(1，0)，因此可以把问题的条件又充实了，又如已知顶点M到x轴的距离为2，对称轴为x=-1，因此又可以找顶点坐标为(-1，2)，故可利用顶点坐标式求出函数的解析式，此题的解法不唯一，下面分别介绍几种解法解法(一)：抛物线的

4、对称轴是x=-1，顶点M到x轴距离为2，顶点的坐标为M(-1，2)或M(-1，-2)故设二次函数式y=a(x1)22 或y=a(x+1)2-2又抛物线经过点A(-3，0)0=a(-31)22或0=a(-31)2-2所求函数式是 解法(二)：根据题意：设函数解析式为y=ax2bxc点A(-3，0)在抛物线上0=9a-3bc 又对称轴是x=-1顶点M到x轴的距离为2解由，组成的方程组：所求函数的解析式是：解法(三)：抛物线的对称轴是x=-1又图象经过点A(-3，0)点A(-3，0)关于对称轴x=-1对称的对称点A(1，0)设函数式为y=a(x+3)(x-1)把抛物线的顶点M的坐标(-1，2)或(-

5、1，-2)分别代入函数式，得2=a(-13)(-1-1)或-2=a(-13)(-1-1)解关于a的方程，得所求函数式为：说明：比较以上三种解法，可以看出解法(一)和解法(三)比解法(二)简便M点到x轴的距离为2，纵坐标可以是2，也可以是-2，不要漏掉一解例5 已知抛物线y=x2-6xm与x轴有两个不同的交点A和B，以AB为直径作C，(1)求圆心C的坐标(2)是否存在实数m，使抛物线的顶点在C上，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由分析：(1)根据抛物线的对称性，由已知条件AB是直径圆心应是抛物线的对称轴与x轴的交点(2)依据圆与抛物线的对称性知，抛物线的顶点是否在C上，需要看顶点的纵坐标的

6、绝对值是否等于C的半径长，依据这个条件，列出关于m的方程，求出m值后再由已知条件做出判断解：说明：“存在性”问题是探索性问题的主要形式解答这类问题的基本思路是：假设“存在”演绎推理得出结论(合理或矛盾)例6 已知抛物线y=ax2bxc，其顶点在x轴的上方，它与y轴交于点C(0，3)，与x轴交于点A及点B(6，0)又知方程：ax2bxc0(a0)两根平方和等于40(1)求抛物线的解析式；(2)试问：在此抛物线上是否存在一点P，在x轴上方且使SPAB=2SCAB如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，说明理由分析：求解析式的三个条件中有一个是由方程的根来得到系数的关系式，通过解方程组求出系数也就得到

7、解析式第(2)问中问是否存在那么假设存在进行推理，从而判断存在或不存在解：(1)由题设条件得抛物线顶点为(2，4)又A点坐标为(-2，0)，而ABC与PAB同底，且当P点位于抛物线顶点时，PAB面积最大显然，SPAB=162SABC=212=24故在x轴上方的抛物线上不存在点P使SPAB=2SCAB例7 在一块底边长为a，高为h的三角形的铁板ABC上，要截出一块矩形铁板EFGH，使它的一边FG在BC边上，矩形的边EF等于多长时，矩形铁板的面积最大分析： 问题问“矩形的边EF等于多长时，矩形铁板的面积最大”，所以题目的目标是矩形面积(S)而自变量就是EF的长(x)，因此问题的关键就是用EF(x)

8、表示矩形面积S，这就要用EF表示出EH解： 设内接矩形EFGH中，AMBC，EHBC，设EF=x(0xh)则AN=h-x设矩形EFGH的面积为S 说明：解决联系实际的问题，又与几何图形有关就应综合应用几何、代数知识，利用相似成比例列出函数式再求最值例8 设A，B为抛物线y=-3x2-2xk与x轴的两个相异交点，M为抛物线的顶点，当MAB为等腰直角三角形时，求k的值分析：首先按题意画出图形，再运用抛物线的对称性挖掘题中的隐含条件，来解答本题，得出解后要分析解的合理性进行取舍解：抛物线与x轴有两个相异交点，故0，即(-2)2-4(-3)k0，解关于k的不等式，得 根据题意，作出图象，如图设N为对称

9、轴与x轴的交点，由抛物线的对称性知，N为AB中点AMBRt，且MN的长即为M点的纵坐标，又设A点坐标(x1，0)，B点坐标(x2，0)，则有解关于k的方程，得k0说明： 本题有一个重要的隐含条件，即要使抛物线与x轴有两个相异交点，应首先满足0(2)本题要求学生会运用抛物线的对称性观察图形，联想直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这个重要定理，找到等量关系，列出关于k的方程，如果没有这种灵活运用定理的能力，将得不到关于k的方程，难以求解 例9 某商场将进货单价为18元的商品，按每件20元销售时，每日可销售100件，如果每提价1元(每件)，日销售量就要减少10件，那么把商品的售出价定为多少时，才能

10、使每天获得的利润最大？每天的最大利润是多少？分析： 此题主要涉及两个量，即售出价和每天获得的利润而每天获得的利润是随着售出价的改变而改变的，所以要找到二者的函数关系式，应把售出价设为自变量，把每天获得的利润看作是售出价的函数这样，再根据已知条件，就可列出二者的函数关系式解： 例10 改革开放后，不少农村用上了自动喷灌设备，如图所示，设水管AB高出地面1.5米，在B处有一个自动旋转的喷水头，一瞬间，喷出的水流呈抛物线状，喷头B与水流最高点C的连线与水平面成45角，水流的最高点C比喷头B高出2米，在所建的坐标系中，求水流的落地点F到A点的距离是多少？分析：要求点F到A点的距离，也就是求A、F两点横坐标的差又A点横坐标为0，所以只需求出F点横坐标F点在抛物线上是抛物线与x轴的交点，所以要根据已知条件，求出抛物线的解析式解： 过C点作CDOx于D，BECD于E，则有CE=BE2，AB=DE=1.5，则B(0，1.5)，C(2，3.5)C为抛物线的最高点，第1页（共6页） 第2页（共6页）