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1、四种命题四种命题间的相互关系1、四种命题的概念，写出某个命题的逆命题、否命题和逆否命题。2、四种命题之间的关系以及真假性之间的联系。3、会用命题的等价性解决问题。【核心扫描】：1、结合命题真假的判定，考查四种命题的结构。(重点)2、掌握四种命题之间的相互关系。(重点)3、等价命题的应用。(难点)1、四种命题的概念(1) 互逆命题：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件， 那么这样的两个命题叫做互逆命题。其中一个命题叫原命题，另一个叫做原命题的逆命题。 若原命题为“若p,则q”则逆命题为“若q,则P”(2) 互否命题：对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个
2、命题的条件的否定 和结论的否定,这样的两个命题叫做互否命题。如果把其中的一个命题叫做原命题,那么 另一个叫做原命题的否命题。也就是说，若原命题为“若P，则q则否命题为“若非P，则非 q”。(3) 互为逆否命题：对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的 否定和条件的否定，这样的两个命题叫做互为逆否命题。如果把其中的一个命题叫做原命 题，那么另一个叫做原命题的逆否命题也就是说，若原命题为“若P，则0”，则逆否命题 为若非q,贝0非p。任何一个命题的结构都包含条件和结论，通过条件和结论的不同变换都可以得到这个 命题的逆命题、否命题和逆否命题，因而任何一个命题都有逆命题、否命题和
3、逆否命题。2、四种命题的相互关系3、四种命题的真假性(1)四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况(2)四种命题的真假性之间的关系： 两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性. 两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系.在四种命题中，真命题的个数可能会有几种情况？因为原命题与逆否命题，逆命题和否命题互为逆否命题，它们同真同假，所以真命题的个 数可能为 0， 2， 4.一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用非p和非q分别表示p与q的否定， 则四种命题的形式可表示为：原命题：若P,则q；逆命题：若q，则p；否命题：若非P,则非q； 逆否命题：若非q,则非p.(1) 关于四种命题也可
4、叙述为： 交换命题的条件和结论，所得的新命题就是原命题的逆命题； 同时否定命题的条件和结论，所得的新命题就是原命题的否命题； 交换命题的条件和结论，并且同时否定，所得的新命题就是原命题的逆否命题.(2) 已知原命题，写出它的其他三种命题：首先，将原命题写成“若p，则q”的形式，然后找出条件和结论，再根据定义写出其他命题。 然后，对于含有大前提的命题，在改写时大前提不动。如“已知a，b为正数，若ab，则|a|b|”中，已知a，b为正数在四种命题中是相同的 大前提，写其他命题时都把它作为大前提。四种命题的真假关系原命题为真，它的逆命题不一定为真；原命题为真，它的否命题不一定为真；原命题为真，它的逆
5、否命题一定为真；原命题的逆命题为真，它的否命题一定为真四种命题的等价关系的应用： 判断某个命题的真假，如果直接判断不易，可转化为判断它的逆否命题的真假。例如 带有否定词的命题真假的判断。因此，证明某一问题时，若直接证明不容易入手，可以通过证明它的逆否命题为真命 题来间接地证明原命题为真命题四种命题之间的转换【例1】写出以下命题的逆命题、否命题和逆否命题 (1)如果直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直于平面；(2) 如果x10，那么x0；(3) 当 x=2 时，x2+x_6=0思路探索：可先分清命题的条件和结论，写成若P，则于的形式，再写出逆命题、否命题 和逆否命题。解：(1)逆命题
6、：如果直线垂直于平面，那么直线垂直于平面内的两条相交直线； 否命题：如果直线不垂直于平面内的两条相交直线，那么直线不垂直于平面； 逆否命题：如果直线不垂直于平面，那么直线不垂直于平面内的两条相交直线(2)逆命题：如果x0,那么x10；否命题：如果卅10，那么卅0;逆否命题：如果卅0,那么x0(2)逆命题：若方程 mx2 xn= 0 否命题：若mn0，则方程mx2x+n=0 逆否命题：若方程 mx2xn=0题型二 四种命题真假的判断【例 2】有下列四个命题： “若 x+ y= 0，则 x， y 互为相反数”的否命题； “若ab，则a2b2”的逆否命题； “若出一3，则x2x60”的否命题； “同
7、位角相等”的逆命题.其中真命题的个数是.思路探索 可先逐一分清两个命题的条件和结论，再利用有关知识判断真假. 解析 “若x+y*O,则x，y不是相反数”，是真命题. “若 a2b2，则 aSb”，取 a=0，b=1，a2b，故是假命题. “若x3，则x2x60，解不等式x2x60可得一2x3不是不等 式的解，故是假命题. “相等的角是同位角”是假命题.答案 1 规律方法：要判断四种命题的真假：首先，要熟练四种命题的相互关系，注意它们之间的 相互性；其次，利用其他知识判断真假时，一定要对有关知识熟练掌握.下列命题中是真命题的是： ().A、命题“若0logab1，则0a1b”的逆命题B、命题若b
8、=3，则02=9的逆命题C、命题当x=2时，x23x+2=0的否命题D、命题“相似三角形的对应角相等的逆否命题解析 对于A，逆命题为“若Ovavlvb,则0vlogab1”，由对数函数图象得，当0a1b时， logab0，AA 为假；B项，逆命题是若02=9，则b=3，它未必成立，因为b可能等于一3，所以B为假；C项，否命题是当x*2时，x23x+2农0”，因为x=1时也可以使X23x+2=0 成立，所以为假；D项，逆否命题是“两个三角形对应角不相等，则这两个三角形不相似，因为原命题与逆命题同真假，且原命题为真，所以逆否命题为真，故选 D.答案 D等价命题的应用判断命题“已知a，x为实数，若关
9、于x的不等式x2+(2a+l)x+a2+2S0的解集不是空集， 则a21的逆否命题的真假.审题指导:本题的命题意图是考査逆否命题的应用，由于原命题与它的逆否命题同真同假， 所以可写出原命题的逆否命题，再判断其真假，或者由判断原命题的真假得出逆否命题的 真假。规范解答法一：原命题的逆否命题：已知a, x为实数，若a1,则关于x的不等式x2 + (2a + l)x+a2 + 2W0的解集为空集.真假 判断如下：3 分抛物线y=x2 + (2a + l)x+a2 + 2开口向上，判别式 A=(2a + l)2-4(a2+2)=4a-7，6 分若 a1，则 4a-70，4 分即 4a70，又因为原命题
10、与其逆否命题等价，所以逆否命题为真。12分由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，即互为逆否命题的命题具有等价性，所以我 们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间 接地证明原命题为真命题。判断命题“若m0,则方程x2+2x3m=0有实数根”的逆否命题的真假解 Vm0，A12m0，A12m+40.方程X2+2x3m=0的判别式4=12m+40原命题若m0,则方程x2+2x3m=0有实数根”为真.又因原命题与它的逆否命题等价，所以“若m0，则方程x2+2x3m=0有实数根的逆否 命题也为真反证法的应用 1、反证法的理论基础：反证法就是证明结论的反面不成立，从而
11、证明原结论成立。由于互 为逆否命题的两个命题具有等价性，从逻辑角度看，原命题为真，则它的逆否命题也为真。在直接证明原命题有困难时，就可转化为证明它的逆否命题成立。2、反证法的思想方法：命题“若p,则于的逆否命题是“若非q,贝0非p”，假设q不成立， 即非q成立，由此进行推理，贝9非p一定成立，这与p成立矛盾，那么就说明“假设q不成 立”为假，从而可以导出“若p,则q”为真，达到论证的目的，这就是反证法的思想方法.3、反证法证明命题的步骤：(1) 反设：假设命题的结论不成立，即假设结论的否定成立；(2) 归谬：从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；(3) 说明：由矛盾判定假设不正确，从而肯定命
12、题的结论正确. 否定结论是反证法的第一步，它的正确与否，对于反证法有直接影响.若ai+bi=c2，求证：a，b，c不可能都是奇数。 思路分析：可以证明原命题的逆否命题为真命题，也可以运用反证法。法一：依题意，就是证明命题若az+b2=c2,则a，b，c不可能都是奇数”为真命题。为此， 只需证明其逆否命题若a，b，c都是奇数，则a2+b2S.”为真命题即可。a，b，c都是奇数，则a2, b2, c2都是奇数。于是a2+b2为偶数，而C2为奇数，即a2+ b2*C20原命题的逆否命题为真命题，所以原命题成立。法二：假设a, b, c都是奇数，则a2, b2, c都是奇数。得a2+b2为偶数，而C2为奇数，即a2+b2強C2,与a2+b2=c2矛盾。所以假设不成立，从而原命题成立0方法点评：上述两种证明方法的本质是一致的，只是叙述的格式不同罢了，而以什么方式表达某 一数学事实，这仅是阐述理由的外在表现形式，绝不影响数学事实的本质特点0两种方法相比较，反证法更具有“程式化”特点.注意含有否定词的命题常用反证法证明0
