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1、立体几何大题1 .如下图，一个等腰直角三角形的硬纸片ABC中，/ ACB = 90 AC = 4cm, CD是斜边上的高沿CD把厶ABC折成直二面角.第1题图第1题图(1) 如果你手中只有一把能度量长度的直尺，应该如何确定A , B的位置，使二面角 A CD B是直二面角？证明你的结论.(2) 试在平面 ABC上确定一个 P,使DP与平面ABC内任意一条直线都垂直，证明 你的结论.(3) 如果在折成的三棱锥内有一个小球，求出小球半径的最大值.3. 如图，正三棱柱 ABC A1B1C1的底面边长为1,点M在BC上， AMC 1是以M为直角顶点的等腰直角三角形(I)求证：点M为BC的中点；(n)求
2、点B到平面AMC 1的距离；B第3题图(川)求二面角 M AC1 B的正切值.4. 如图，已知多面体 ABCDE 中，AB丄平面 ACD , DE丄平面 ACD，三角形 ACD是正 三角形，且 AD=DE=2 , AB=1 , F是CD的中点.(I) 求证：AF /平面BCE ;(H)求多面体 ABCDE的体积；(川)求二面角 C-BE-D 的正切值.5. 已知：ABCD是矩形，设 PA=a, PA丄平面 ABCD.M、N分别是 AB、PC的中点.(I) 求证：MN丄AB ;(H)若 PD=AB，且平面 MND丄平面 PCD，求二面角 P CD A的大小；(川)在(H)的条件下，求三棱锥D A
3、MN的体积.6 . 如图，正方体 ABCD AiBiCiDi 中，P、M、N 分别为棱DDi、AB、BC的中点。(I) 求二面角 Bi MN B的正切值；(II) 证明：PB丄平面 MNB i;(III )画出一个正方体表面展开图，使其满足有4个正方形面相连成一个长方形 的条件，并求出展开图中P、B两点间的距离。7.如图,在棱PD、(I)(n)(出)四棱锥 PABCD的底面是正方形，PA丄底面ABCD , PA=AD=2，点M、N分另UPC上，且PC丄平面AMN. 求证：AM丄PD;求二面角 PAM N的大小；求直线CD与平面AMN所成角的大小8 . 如图，在直三棱柱 ABC AiBiCi 中
4、，/ ACB=90 . BC=CCi=a, AC=2a.(I) 求证：ABBCi；(II) 求二面角 B ABi C的大小； (III )求点Ai到平面ABiC的距离.9 .在长方体 ABCD AiBiCiDi 中，已知 AB=BC=2 , BBi=3，连接 BCi，过 Bi 作 BiE 丄 BCi交CCi于点E(I )求证：ACi平面 BiDiE;(n )求三棱锥 Ci BiDiEi的体积；(川)求二面角E BiDi Ci的平面角大小10.在矩形ABCD中，AB = 4, BC = 3, E为DC的中点，沿 AE将厶AED折起，使二面角 D AE B 为 60 .(I)求DE与平面AC所成角
5、的大小;(H)求二面角 D EC B的大小.第10题11. 直三棱柱 ABC AiBiCi 中，AC = CB = AA 1 = 2,Z ACB = 90 E 是 BB i 的中点,D AB，/ A1DE = 90 (I)求证： CD丄平面 ABB1A1；(H)求二面角 D AQ A的大小.c(12 .如图，已知斜三棱柱 ABC A1B1C1中，/ BCA=90 , AC=BC=a，点A1在底面 ABC上的射影恰为AC的中点D, BA1丄AC1。(I)求证：BC丄平面A1ACC 1；(II )求点A1到AB的距离D(III )求二面角B AA1 C的正切值13.如图，正三棱柱 AC1中，AB=
6、2 , D是AB的中点，E是AiCi的中点，F是BiB中点,异面直线CF与DE所成的角为90(1)求此三棱柱的高；(2 )求二面角 C AF B的大小.B14.已知ABCD是矩形，PD丄平面ABCD ,PB的中点。(I)求证：平面 MNC丄平面PBC ;(H)求点A到平面MNC的距离。PD=DC=a , AD ,2a , M、N 分别是 AD、15 .如图，正三棱柱 ABC AiBiCi的底面边长的3,侧棱AA i=3 , D是CB延长线上2一点，且 BD=BC.(I)求证：直线 BCi平面ABiD;(H)求二面角 Bi AD B的大小;AA,(川)求三棱锥 Ci ABBi的体积.i9.如图，
7、在正四棱柱iABCD AiBiCiDi 中, AAi=2AB，点 E、M分别为AiB、 CiC16. 如图，正三棱柱 ABC AiBiCi, BC=BB 1=1 , D 为 BC 上一点,且满足AD丄CiD.(I)求证：截面 ADCi丄侧面BCi ;(II )求一面角CAC i D的正弦值;(III )求直线A iB与截面ADC i距离.i7.如图，在底面是直角梯形的四棱锥中，AD / BC ,Z ABC = 90 且，又 PA丄平面ABCD , AD = 3AB = 3PA = 3a。(I) 求二面角 PCD A的正切值；(II) 求点A到平面PBC的距离。i8 . 直角梯形 ABCD 中，
8、BC / AD , AD /丄 AB , , VA 丄平面 ABCD 。(1) 求证：VC丄CD。(2) 若，求CV与平面VAD所成的角。D的中点，过点 Ai, B , M三点的平面 AiBMN交CiDi于点N.I)求证：EM /平面 AiBiCiDi;(H)求二面角 B AiN Bi的正切值.20.如图，PA丄平面AC,四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB、PD的中点.(I)求证：AF /平面PCE;(H)若二面角 P CD B 为 45 AD=2 ,CD=3，求点F到平面PCE的距离.21 .如图，正三棱柱 AC1中，AB=2 , D是AB的中点，E是AiCi的中点，F是BiB中点,异面
9、直线CF与DE所成的角为90(1)求此三棱柱的高；22.女口图，正方体ABCDA B1C1D1，棱长为 a, E、F分别为AB、BC上的点，且AE(2 )求二面角 C AF B的大小.=BF = x.(1)当x为何值时，三棱锥B1 BEF的体积最大?(2) 求三棱椎B1 BEF的体积最大时，二面角 B1 EF B的正切值;(3) (理科做)求异面直线 AE与B1F所成的角的取值范围.23. 已知，如图四棱锥 PABCD中，底面ABCD是平行四边形，PG丄平面ABCD，垂1足为G , G在AD上，且AG= GD , BG丄GC, GB=GC=2 , E是BC的中点，四面体P BCG3的体积为8.
10、3(I)求异面直线 GE与PC所成的角；(n)求点D到平面PBG的距离；PF(川)若F点是棱PC上一点，且 DF丄GC,求 的值.FC24 .如图，已知正方体 ABCD AiBiCiDi的棱长为2, M、N分别为AAi、BBi的中点,求:25.如图，四棱锥P ABCD的底面是正方形,PA丄底面 ABCD , PA=AD=2，点 M、N 分(I) CM与DiN所成角的余弦值； (II )异面直线CM与DiN的距离.别在棱 PD、PC上,且 PC丄平面 AMN.(I)求证：AM丄PD;(n)求二面角 PAM N的大小；(川)求直线CD与平面AMN所成角的大小26.如图，直三棱柱 ABC AiBiC
11、i 中， ACB 90,BC AC 2, AAi 4 , D 为棱CCi上的一动点，M、N分别为 ABD, AiBiD的重心.(1) 求证：MN BC ;(2) 若二面角 CAB D的大小为arctan-、2，求点Ci到平面AiBiD的距离;(3) 若点C在 ABD上的射影正好为M,试判断点C1在AiBiD的射影是否 为N?并说明理由.C127.在 Rt ABC 中， ACB=30 ,B=90 , D 为 AC 中点，E 为 BD 的中点，AE 的延长线交BC于F，将ABD沿BD折起，二面角 A BD C大小记为(1) 求证：面AEF 面BCD ;O28.如图，在斜三棱柱(2)为何值时，AB
12、CD。ABC A1B1C1 中，侧面 AA 1B1B 丄底面 ABC ,侧棱AA 1与底面ABC成60的角，AA1= 2 .底面ABC是边长为2的正三角形，其重心1为G点。E是线段BCi上一点，且BE= BCi .3(1) 求证： GE/ 侧面 AAiBiB ；(2) 求平面BiGE与底面ABC所成锐二面角的大小29.已知三棱锥P ABC中PB丄底面ABC ,BCA 90 ,PB=BC=CA= a, E 是 PC 的中点，点 F 在 PA 上，且 3PF=FA.(1) 求证：平面PAC丄PBC;(2) 求平面BEF与底面ABC所成角(用一个反三角函数值表示)30.三棱锥 S ABC中，底面 ABC是顶角为 ABC 、AC a的等腰,(02)E、D分别为SASCA 2，SC b，侧面SAC与底面ABC所成二面角为和AC的中点(1) 求证无论，(2) 求三棱锥S为何值时，点S到截面BDE的距离为定值
