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1、第二节参数方程A组基础题组1.已知曲线C的参数方程为(为参数),在同一平面直角坐标系中,将曲线C上的点按坐标变换得到曲线C.(1)求曲线C的普通方程;(2)已知点A在曲线C上,点D(1,3),当点A在曲线C上运动时,求AD的中点P的轨迹方程.2.已知曲线C的极坐标方程是=4cos .以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l的参数方程是(t为参数).(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)若直线l与曲线C相交于A,B两点,且|AB|=,求直线l的倾斜角的值.3.(2017吉林长春质量检测(三)已知在平面直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴的正半轴为极
2、轴建立极坐标系.曲线C1的极坐标方程为2(3+sin2)=12,曲线C2的参数方程为(t为参数),.(1)求曲线C1的直角坐标方程,并判断该曲线是什么曲线;(2)设曲线C2与曲线C1的交点为A、B,P(1,0),当|PA|+|PB|=时,求cos 的值.4.(2017湖南湘中名校联考)已知直线l:(t为参数),曲线C1:(为参数).(1)设l与C1相交于A,B两点,求|AB|;(2)若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的,纵坐标压缩为原来的,得到曲线C2,设点P是曲线C2上的一个动点,求它到直线l的距离的最小值.B组提升题组1.在平面直角坐标系中,直线l的参数方程为(t为参数),在以直角坐标系
3、的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C的极坐标方程为=.(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程;(2)若直线l与曲线C相交于A,B两点,求AOB的面积.2.(2017陕西西安八校联考)在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为=2sin ,0,2).(1)求曲线C的直角坐标方程;(2)在曲线C上求一点D,使它到直线l:(t为参数)的距离最短,并求出点D的直角坐标.3.(2017四川成都第一次诊断性检测)在平面直角坐标系xOy中,倾斜角为的直线l的参数方程为(t为参数).以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐
4、标系,曲线C的极坐标方程是cos2-4sin =0.(1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;(2)已知点P(1,0).若点M的极坐标为,直线l经过点M且与曲线C相交于A,B两点,设线段AB的中点为Q,求|PQ|的值.4.在平面直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中,直线l的极坐标方程为=(R),曲线C的参数方程为(1)写出直线l的直角坐标方程及曲线C的普通方程;(2)过点M且平行于直线l的直线与曲线C交于A,B两点,若|MA|MB|=,求点M的轨迹.答案精解精析A组基础题组1.解析(1)将代入得曲线C的参数方程,即曲线C的普通方程为+y2=1.(2)设点
5、P(x,y),A(x0,y0),D(1,3),且AD的中点为P,又点A在曲线C上,代入C的普通方程+y2=1,得(2x-1)2+4(2y-3)2=4,动点P的轨迹方程为(2x-1)2+4(2y-3)2=4.2.解析(1)由=4cos ,得(x-2)2+y2=4.(2)将代入圆的方程得(tcos -1)2+(tsin )2=4,化简得t2-2tcos -3=0,设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,则|AB|=|t1-t2|=,4cos2=2,cos =,=或.3.解析(1)由2(3+sin2)=12及x=cos ,y=sin 可得+=1,该曲线为椭圆.(2)将(t为参数)代入+=1得t2(4
6、-cos2)+6tcos -9=0,设A、B对应的参数分别为t1、t2,则t1+t2=,t1t2=,所以|PA|+|PB|=|t1-t2|=,从而cos2=,由于,所以cos =.4.解析(1)l的普通方程为y=(x-1),C1的普通方程为x2+y2=1.联立得方程组解得l与C1的交点为A(1,0),B,则|AB|=1.(2)C2的参数方程为(为参数),故点P的坐标是,从而点P到直线l的距离d=,当sin=-1时,d取得最小值,且最小值为(-1).B组提升题组1.解析(1)由曲线C的极坐标方程=,得2sin2=2cos ,所以曲线C的直角坐标方程是y2=2x.由直线l的参数方程得其普通方程为x
7、-y-4=0.(2)将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程y2=2x,得t2-8t+7=0,设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=8,t1t2=7,所以|AB|=|t1-t2|=6,因为原点到直线x-y-4=0的距离d=2,所以AOB的面积是|AB|d=62=12.2.解析(1)由=2sin ,0,2),可得2=2sin .因为2=x2+y2,sin =y,所以曲线C的直角坐标方程为x2+y2-2y=0或x2+(y-1)2=1.(2)因为直线l的参数方程为(t为参数),消去t得直线l的普通方程为y=-x+5.因为曲线C:x2+(y-1)2=1是以G(0,1)为圆心、1为半径
8、的圆,(易知C,l相离)设点D(x0,y0),且点D到直线l:y=-x+5的距离最短,所以曲线C在点D处的切线与直线l:y=-x+5平行.即直线GD与l的斜率的乘积等于-1,即(-)=-1,又+(y0-1)2=1,可得x0=-(舍去)或x0=,所以y0=,即点D的坐标为.3.解析(1)直线l的参数方程为(t为参数),直线l的普通方程为y=tan (x-1).由cos2-4sin =0得2cos2-4sin =0,即x2-4y=0,曲线C的直角坐标方程为x2=4y.(2)点M的极坐标为,点M的直角坐标为(0,1).tan =-1,直线l的倾斜角=.直线l的参数方程为(t为参数).代入x2=4y,
9、得t2-6t+2=0.设A,B两点对应的参数分别为t1,t2.Q为线段AB的中点,点Q对应的参数值为=3.又点P(1,0),则|PQ|=3.4.解析(1)直线l的直角坐标方程为y=x,曲线C的普通方程为+y2=1.(2)设点M(x0,y0),过点M的直线为l1,则l1的参数方程为(t为参数),将直线l1的参数方程代入曲线C的方程可得+tx0+2ty0+2-2=0,由|MA|MB|=,得=.即+2=6,x2+2y2=6表示一椭圆,设直线l1为y=x+m,将y=x+m代入+y2=1得,3x2+4mx+2m2-2=0,由0得-m,故点M的轨迹是椭圆x2+2y2=6夹在平行直线y=x之间的两段椭圆弧.
