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1、专题02 复数与平面向量2024年新高考地区数学一模分类汇编-山东专用（解析版）一、单选题1（2024山东菏泽一模）若，则向量与的夹角为（）ABCD【答案】A【分析】借助向量模长与数量积的关系以及夹角公式计算即可得.【详解】由，则，而，即得，所以，又，所以.故选：A.2（2024山东济南实验一模）若复数z满足，则z在复平面中对应的点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】D【分析】设，代入条件根据复数相等求出，进而可得z在复平面中对应的点所在象限.【详解】设，则由得，整理得，所以，解得，所以在复平面中对应的点为，在第四象限.故选：D.3（2024山东枣庄一模）已知为抛物线的焦点，
2、的三个顶点都在上，为的中点，且，则的最大值为（）A4B5CD【答案】B【分析】结合向量的线性运算可得，结合焦半径公式与即可得解.【详解】设、，由可得，由，为的中点，则有，即，即，故，又，故，此时点在原点.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助向量的线性运算，得到，从而可结合焦半径公式得到.4（2024山东济南一模）已知，若，则（）A1BCD【答案】A【分析】根据平面向量共线的充要条件即可得解.【详解】因为，所以，解得.故选：A.5（2024山东济南一模）已知复数，满足，则（）A1BC2D【答案】B【分析】首先分析题意，设出复数，求出复数的模找变量之间的关系，整体代入求解即可.【详解】
3、设则所以，即，则故选：B.6（2024山东聊城一模）若复数满足，则可以为（）ABCD【答案】A【分析】借助复数的性质设，结合题意计算即可得.【详解】设，则，故有，即有，选项中只有A选项符合要求，故A正确，B、C、D选项不符合要求，故B、C、D错误.故选：A.7（2024山东聊城一模）已知是圆外的动点，过点作圆的两条切线，设两切点分别为，当的值最小时，点到圆心的距离为（）ABCD2【答案】A【分析】由，可将转化为，借助圆的切线的性质，可逐一计算出、及，借助基本不等式中取等条件即可得解.【详解】设，则，则，故，当且仅当，即时，等号成立，故当的值最小时，点到圆心的距离为.故选：A.【点睛】关键点点睛
4、：本题关键点在于将转化为，从而可借助圆的切线的性质，解出的值何时取得最小.8（2024山东烟台一模）在平面直角坐标系中，点，向量，且.若为椭圆上一点，则的最小值为（）ABCD【答案】A【分析】根据给定条件，求出点的轨迹，再借助三角代换及点到直线距离公式求出最小值.【详解】设点，由及，得，即，而，消去得：，设椭圆上的点，则点到直线的距离，其中锐角由确定，当时，而，所以的最小值为.故选：A【点睛】思路点睛：求出椭圆上的点与其相离的直线上点的距离最小值，可转化为求椭圆上的点到直线距离有最小值解决.9（2024山东济宁一模）已知为虚数单位，复数满足，则（）ABCD【答案】B【分析】根据复数代数形式的除
5、法运算化简复数，从而得到其共轭复数.【详解】因为，所以，所以.故选：B10（2024山东济宁一模）已知为坐标原点，直线与圆相交于，两点，则（）A4B6C8D10【答案】C【分析】首先将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，再求出直线过定点坐标，从而得到直线恒过圆心，再根据数量积的运算律计算可得.【详解】圆即，圆心为，半径，又直线，令，则，即直线恒过点，即直线恒过圆心，又直线与圆相交于，两点，所以，所以. 故选：C11（2024山东淄博一模）在平面直角坐标系xOy中，已知向量 与 关于x轴对称，向量 若满足 的点A的轨迹为E，则（）AE是一条垂直于x轴的直线BE是一个半径为1的圆CE是两条
6、平行直线DE 是椭圆【答案】B【分析】设，由题有，代入化简即可得出答案.【详解】设，由题有，所以，所以，即，所以点的轨迹是一个半径为1的圆，故选：B12（2024山东泰安一模）在平面内，是两个定点，是动点，若，则点的轨迹为（）A椭圆B抛物线C直线D圆【答案】D【分析】根据题意求出动点的轨迹方程即可判断.【详解】设点，点，则，.由可得：，即.所以点的轨迹为圆.故选：D13（2024山东泰安一模）已知非零向量，满足，若，则与的夹角为（）ABCD【答案】C【分析】由向量垂直，数量积为0，可求得的值，从而求出与的夹角.【详解】因为，所以，则，又，则，所以，又，则与的夹角为.故选：C.14（2024山东
7、菏泽一模）已知复数满足，其中为虚数单位，则的虚部为（）ABCD【答案】A【分析】由，结合复数的化简式和除法公式可直接求解.【详解】由得，故复数的虚部为.故选：A15（2024山东菏泽一模）已知向量，若，则（）ABCD【答案】B【分析】由得到，结合得到方程组，求出，进而得到余弦和正切值.【详解】由得，又，故，即，解得，故，故.故选：B16（2024山东临沂一模）已知向量.若，则实数（）A1BC9D【答案】B【分析】根据已知条件，结合向量平行的性质，求解即可.【详解】因为向量，且，得，得.故选：B.17（2024山东临沂一模）若虚数单位是关于的方程的一个根，则（）A0B1CD2【答案】C【分析】根
8、据复数相等的充要条件得到方程组，即可求出、的值，再求出其模.【详解】因为是关于的方程的一个根，所以，即，即，则，解得，所以.故选：C18（2024山东潍坊一模）已知平面向量，若，则实数（）ABCD2【答案】A【分析】利用向量垂直的坐标表示，列式计算即得.【详解】平面向量，由，得，所以.故选：A19（2024山东日照一模）过双曲线的右支上一点P，分别向和作切线，切点分别为M，N，则的最小值为（）A28B29C30D32【答案】C【分析】求得两圆的圆心和半径，设双曲线的左右焦点为，连接，运用勾股定理和双曲线的定义，结合三点共线时，距离之和取得最小值，计算即可得到所求值【详解】由双曲线方程可知：，可
9、知双曲线方程的左、右焦点分别为，圆的圆心为（即），半径为；圆的圆心为（即），半径为连接，则，可得，当且仅当P为双曲线的右顶点时，取得等号，即的最小值为30.故选：C.【点睛】关键点点睛：根据数量积的运算律可得，结合双曲线的定义整理得，结合几何性质分析求解.20（2024山东实验中学一模）已知复数，则（）ABCD【答案】B【分析】由复数乘法结合共轭复数的概念即可得解.【详解】由题意，所以.故选：B.21（2024山东实验中学一模）若，则实数（）A6BC3D【答案】B【分析】将两边平方，结合数量积的运算律求出，再根据数量积的坐标公式即可得解.【详解】因为，所以，即，所以，即，解得.故选：B.二、多
10、选题22（2024山东枣庄一模）已知，则（）A若，则B若，则C若，则D若，则【答案】ABD【分析】根据共轭复数的概念和复数的四则运算，结合复数模的计算及性质，逐项判断即可.【详解】设，则.对于A：若，且，可得，所以，正确；对于B：若，则，即，得或，所以，正确；选项C：令、，则，所以，但是，错误；选项D：因为，所以，所以，正确.故选：ABD23（2024山东青岛一模）已知复数z，下列说法正确的是（）A若，则z为实数B若，则C若，则的最大值为2D若，则z为纯虚数【答案】AC【分析】根据题意，由复数的运算以及其几何意义，对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】设，则，若，即，即，则z为实数，故A正确；
11、若，即，化简可得，即，即，当时，此时不一定满足，当时，此时不一定满足，故B错误；若，即，所以，即表示以为圆心，以为半径的圆上的点，且表示圆上的点到原点的距离，所以的最大值为2，故C正确；若，即，即，化简可得，则且，此时可能为实数也可能为纯虚数，故D错误；故选：AC24（2024山东烟台一模）已知为复数，下列结论正确的有（）ABC若，则D若，则或【答案】ABD【分析】设出复数的代数形式，结合共轭复数的意义计算判断ABD；举例说明判断C.【详解】设复数，对于A，A正确；对于B，B正确；对于C，取，满足，而，C错误；对于D，由，得，即，则，即，因此或，即或，D正确.故选：ABD25（2024山东淄博
12、一模）已知非零复数，其共轭复数分别为 则下列选项正确的是（）ABC若，则 的最小值为2D【答案】BD【分析】设，对A根据复数的乘法运算即可判断，对B根据共轭复数的概念和复数的加减即可判断；对C根据复数表示的几何意义即可判断；对D，根据复数的除法运算和复数模的计算即可判断.【详解】设，对A，当至少一个为0时，当均不等于0，故A错误；对B，则，而，故，故B正确；对C，若，即，即，即，则在复平面上表示的是以为圆心，半径的圆，的几何意义表示为点到点的距离，显然，则点在圆外，则圆心到定点的距离，则点与圆上点距离的最小值为，故C错误；对D，而，故，故D正确；故选：BD.26（2024山东泰安一模）已知复数
13、，则下列说法正确的是（）A若，则B若，则在复平面内对应的点在第二象限C若，则D若，复数在复平面内对应的点为，则直线（为原点）斜率的取值范围为【答案】ACD【分析】根据题意，由复数的运算以及其几何意义，对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】对于A，设，则，若，则，则，所以，故A正确；对于B，若，则，所以在复平面内对应的点在第四象限，故B错误；对于C，设，由，可得，则，即，则，故C正确；对于D，设，则，若，则，即点在以为圆心，为半径的圆上，设过原点与圆相切的直线为，即，则圆心到切线的距离，解得，所以直线（为原点）斜率的取值范围为，故D正确.故选：ACD27（2024山东日照一模）下列命题正确的是（）A复数的虚部为B设z为复数，则C若复数为纯虚数，则，D复数在复平面内对应的点在第二象限【答案】AC【分析】对于ACD：根据复数的相关概念和几何
